ВСТУП

§1.Визначення інтегралу Стілтьєса

§2. Існування інтегралу Стілтьєса

2.1. Загальні умови існування інтегралу Стілтьєса.

2.2. Класи випадків існування інтегралу Стілтьєса

§3. Властивості інтегралу Стілтьєса

§4. Інтегрування за частинами

§5.Зведення інтеграла Стілтьєса до інтегралу Рімана

§6. Обчислення інтегралів Стілтьєса

§7. Приклади обчислення інтеграла Стілтьєса

§8.Граничний перехід під знаком інтеграла Стілтьєса

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

ВСТУП

Інтегрування у XIX сторіччі в основному пов’язано з теорією тригонометричних рядів. Інтеграл Стілтьєса виник в зовсім новій, нетрадиційній області, а саме в теорії ланцюгових дробів, залишаючись в межах цієї теорії він був частиною мало помітною, специфічним узагальненням інтеграла Рімана. Таким він був близько 15 років. Ф. Пісс в 1910 р. надрукував замітку, змістом якої була формула, яка виражала інтеграл Стілтьєса від неперервної функції f(x) через інтеграл Лебега від деякої сумовної функції другого аргументу.

Лебег пропонує на основі даного ним представлення інтеграла Стілтьєса визначити інтеграл Стілтьєса від розривної функції. У 1914р. Юнг показав, що метод монотонних послідовностей, застосований до інтеграла Стілтьєса, досить просто призводить до того ж узагальнення.

У зв’язку з переходом в простір більшого числа змінних до кінця сформулювалась точка зору на інтеграл, як на функцію множини. Така точка зору стала особливо родючою для теорії і дозволила серед множини визначень виділити таке поняття диференціювання, в термінах якого ця теорія набуває єдиної форми, незалежно від кількості змінних.

Дана тема представлена в інтегральному численні і вивчається як додатковий розділ курсу математичного аналізу.

Метою роботи є вивчення умов існування, властивостей, методів обчислення інтеграла Стілтьєса. Відповідно до мети поставлені наступні завдання:

1. Ввести означення інтегралу Стілтьєса.

2. Визначити умови його існування та класи інтегрованих за Стілтьєсом функцій.

3. Вивчити процес зведення інтегралу Стілтьєса до інтегралу Рімана.

4. Розглянути приклади обчислення та граничний перехід під знаком інтегралу Стілтьєса

§1. Визначення інтегралу Стілтьєса

Інтеграл Стілтьєса (Th.J. Stieltjes[1] ) - є безпосереднім узагальненням звичайного інтегралу Рімана. Визначається він наступним чином:

Нехай на проміжку [a,b] задані дві обмежені функції f(x) і g(x). Розкладемо точками

(1)

проміжок [a,b] на частини і покладемо . Обравши у кожній з частин [] (i =0,1,…, n -1 ) за точкою обрахуємо значення функції f(x) і помножимо його на відповідний проміжку [] приріст функції g(x)

Нарешті, складемо суму всіх таких добутків:

(2)

Ця сума має назву суми Стілтьєса.

Скінченна границя суми Стілтьєса , коли прямує до нуля називається інтегралом Стілтьєса функції f(x) no функції g(x) и позначається символом

(3)

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--