Курсовая работа: Інтеграл Стілтьєса
у припущенні, що і існують всі три інтеграли.
Для доведення цієї формули достатньо включити точку с в число точок розбиття проміжку , при складанні суми Стілтьєса для інтегралу
.
Перш за все, з існування інтегралауже випливає існування обох інтегралів
і
.
Для своєрідного граничного процесу, за допомогою якого для стілтьєсової суми отримується інтеграл Стілтьєса, має місце принцип збіжності Больцано-Коші. Таким чином по заданому враховуючи існування інтеграла
знайдеться таке
, що будь-які дві суми
і
, яким відповідають
і
, різняться менш ніж на
. Якщо при цьому у склад точок розбиття включити точку с, а точки розбиття, що припадають на проміжок
, брати в обох випадках одними й тими самими, то різниця
зведеться до різниці
двох сум Стілтьєса, що належать вже проміжку
, бо решта доданків взаємно скорочуються. Застосовуючи до проміжку
і обрахованим для нього стілтьєсовим сумам той же принцип збіжності, зробимо висновок про існування інтеграла
. Аналогічним чином встановлюється і існування інтегралу
. Але, важливо відмітити, що з існування обох інтегралів
і
, взагалі кажучи, не випливає існування інтегралу
. Щоб упевнитися в цьому, достатньо розглянути приклад. Нехай на проміжку
функції
і
задані наступними рівностями:
Легко побачити, що інтеграли
обидва існують і рівні 0, бо відповідні суми Стілтьєса всі рівні 0: для першого це випливає з того, що завжди =0, для другого – з постійності функції
, завдяки чому
=0.
У той же час інтеграл не існує. Дійсно, розіб’ємо проміжок
так, щоб точка 0 не потрапила у склад точок розбиття, і складемо суму:
.
Якщо точка 0 потрапляє в проміжок , так, що
, то в сумі
залишиться лише один
-й доданок; решта будуть нулі, тому що
для
. Отже,
.
В залежності від того, чи буде або
, виявиться
або
, так що
границі не має
Вказана своєрідна умова пов’язана з наявністю розривів у точці для обох функцій
і
. [8]
§4. Інтегрування за частинами
Для інтегралів Стілтьєса має місце формула
–
(8)
в припущенні, що існує один з цих інтегралів; існування іншого звідси вже випливає. Ця формула носить назву формули інтегрування за частинами. Доведемо її.
Нехай існує інтеграл . Розклавши проміжок [а, b] на частини [x i , xi +1 ] (i = 0, 1, ..., n — 1 ), оберемо в цих частинах довільно по точці
таким чином, що
Суму Стілтьєсадля інтеграла
можна представити у вигляді
Якщо додати або відняти зправа вираз то
перепишеться так:
Вираз у фігурних дужках представляє собою стілтьесову суму для інтеграла (існування якого припущено!). Вона відповідає розбиттю проміжку [а, b ] точками ділення
якщо в якості обраних з проміжків
точок узяти x i , а для проміжків
, відповідно, а і b . Якщо, як зазвичай, покласти
то тепер довжини всіх частинних проміжків не перевищать
.
При сума у квадратних дужках прямує до
, з чого слідує, що існує границя і для
, тобто інтеграл
і цей інтеграл визначається формулою (9). [8]
§5. Зведення інтеграла Стілтьєса до інтегралу Рімана
Нехай функція f(x) неперервна на проміжку [a, b], a g(x) монотонно зростає в цьому проміжку, і притому в суворому сенсі. Тоді, як показав Лебег (Н. Lebesgue), інтеграл Стілтьеса за допомогою підстановки
безпосередньо зводиться до інтегралу Рімана.
Доведемо тепер, що
(10)
де останній інтеграл береться у звичайному сенсі, його існування забезпечено, так як функція g(v), а з нею і складна функція f(g-1 (v)) неперервні.
Для цього розкладемо проміжок [а, b] на частини за допомогою точок ділення
a =x 0 <x 1 <…<xi <xi +1 <…<xn =b