(S) або

Границя тут розуміється в тому ж сенсі, що і у випадку зі звичайним визначеним інтегралом. Точніше кажучи, число I називається інтегралом Стілтьєса, якщо для будь-якого числа > 0 існує таке число >0, що як тільки проміжок [a,b] розбитий на частини так, що , одразу ж виконується нерівність , яким би чином не обиралися точки у відповідних проміжках.

При існуванні інтеграла (3) також говорять, що функція на проміжку інтегровна по функції . Очевидно, що єдина відміна даного визначення від звичайного визначення інтегралу Рімана полягає в тому, що множиться не на приріст незалежної змінної, а на приріст другої функції. Таким чином, інтеграл Рімана є частковим випадком інтегралу Стілтьєса, коли в якості функції взято саму незалежну змінну : = [1;8]

§2. Існування інтегралу Стілтьєса

2.1 Загальні умови існування інтегралу Стілтьєса

Встановимо загальні умови існування інтегралу Стілтьєса, обмежуючись припущенням, що функція монотонно зростає.

Звідси слідує, що при тепер всі , подібно тому, як раніше було . Це дозволяє послідовно замінюючи лише на повторити всі побудови.

Аналогічно до сум Дарбу, і тут доцільно ввести суми

, ,

де і M_i означають, відповідно, нижню і верхню точні межі функції в - тому проміжку . Ці суми будемо називати нижньою і верхньою сумами Дарбу-Стілтьєса. Перш за все, ясно, що (при одному й тому самому розбитті),причому і служать точними межами для стілтьєсових сум . Самі ж суми Дарбу-Стілтьєса мають дві наступні властивості:

1. Якщо до наявних двох точок розбиття додати нові точки, то нижня сума Дарбу-Стілтьєса може від цього лише зрости, а верхня сума – лише зменшитися.

2. Кожна нижня сума Дарбу-Стілтьєса не перебільшує кожної верхньої суми, хоча б і такій, що відповідає іншому розбиттю проміжку.

Якщо ввести нижній і верхній інтеграли Дарбу-Стілтьєса:

= і ,

то виявляється, що .

Нарешті, за допомогою сум Дарбу-Стілтьєса легко встановити для випадку, що розглядається, основну ознаку існування інтегралу Стілтьєса:

Теорема. Для існування інтегралу Стілтьєса необхідно і достатньо, щоб виконувалося

, або , (4)

якщо під , як зазвичай, розуміти коливання функції в -му проміжку .

2.2 Класи випадків існування інтегралу Стілтьєса

1. Якщо функція а функція має обмежену зміну, то інтеграл Стілтьєса

(5)

існує.

Спочатку припустимо, що монотонно зростає, тоді за довільно заданим , враховуючи рівномірну неперервність функції , знайдеться таке , що на будь-якому проміжку, довжина якого менше , коливання буде менше за . Нехай тепер проміжок розбитий на частини так, що . Тоді всі < і

,

звідки й слідує виконання умови (4), а, отже, і існування інтеграла також.

У загальному випадку, якщо функція має обмежену зміну, її можна представити у вигляді двох зростаючих обмежених функцій: . У відповідності до цього, перетворюється і сума Стілтьєса, що відповідає функції :

Так, за вже доведеним, кожна із сум і при прямує до граничної межі, це справедливо і відносно суми , що і треба було довести.

Можна послабити умови, що накладаються на функцію якщо одночасно посилити вимоги до функції :

2. Якщо функція інтегровна на проміжку за Ріманом, а задовольняє умові Ліпшиця:

(6)

,

то інтеграл (5) існує.

Для того, щоб знов мати можливість застосувати встановлений вище критерій, припустимо спочатку функцію як таку, що не лише задовольняє умові (6), але і монотонно зростаючу.