Але остання сума при і сама прямує до нуля, як наслідок інтегровності (за Ріманом) функції , а тоді прямує до нуля і перша сума, що доводить існування інтеграла (5).

У загальному випадку функції , що задовольняє умові Ліпшиця (6), представимо її у вигляді різниці

=.

Функція =, очевидно, задовольняє умові Ліпшиця, і в той же час монотонно зростає. Теж саме справедливо і для функції =, так як в силу (6), при

і

.

У такому випадку міркування завершено, як і в попередньому випадку.

3. Якщо функція інтегровна за Ріманом, а функцію можна представити у вигляді інтеграла зі змінною верхнею межею інтегрування:

, (7)

де абсолютно інтегровна на проміжку , то інтеграл (5) існує.

Нехай , так, що монотонно зростає. Якщо інтегровна за власним змістом, і виходячи з цього, обмежена: , то для маємо.

Таким чином, у цьому випадку задовольняє умові Ліпшиця, та інтеграл існує в силу (2).

Припустимо тепер, що інтегровна у невласному сенсі. Обмежимося випадком однієї особливої точки, скажімо . Перш за все, за довільно взятим вибираємо так, щоб було

, (8)

де - загальне коливання функції на розглядуваному нами проміжку.

Розіб’ємо проміжок довільно на частини і складемо суму

.

Вона розкладається на дві суми , з яких перша відповідає проміжкам, що цілком містяться в проміжку , а друга – решті проміжків. Останні, скоріш за все, містяться в проміжку , якщо тільки ; тоді в силу (8),

.

З іншого боку, так як на проміжку функція інтегровна у власному сенсі, то за доведеним, при достатньо малому і сума стане меншою за . Звідси слідує (4), що і потрібно було довести.

У загальному випадку, коли функція абсолютно інтегровна на проміжку , ми розглянемо функції

,

очевидно, невід’ємні і інтегровні на даному проміжку. Так як

,

то питання зводиться до вже розглянутого випадку.

ЗАУВАЖЕННЯ. Нехай функція неперервна на проміжку і має, виключаючи лише скінчене число точок, похідну , причому ця похідна інтегровна (у власному чи невласному змісті) від до ; тоді, як відомо, має місце формула (7):

.

Якщо абсолютно інтегровна, то до функції повністю справедливо все викладене в п. 3.[1;3]

§3. Властивості інтегралу Стілтьєса

З визначення інтегралу Стілтьєса безпосередньо випливають такі його властивості:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

При цьому у випадках 2, 3, 4 з існування інтегралів у правій частині випливає існування інтеграла у лівій частині. Далі маємо