Функция f(x), заданная на сегменте [а, b], называется ступенчатой, если [а,b] разложить точками.

с₀ = а< с₁ <с₂ <…<с_n = b

на конечное число частей, в н у т р и которых (т.е. в интервалах (с_k , c_{k + 1} ) при k = 0, 1, …., n –1) функция f(x) постоянна . Легко понять, что из теоремы 5 вытекает

Следствие . Ступенчатая функция измерима.

Теорема 6. Если f ( x ) есть измеримая функция, заданная на множестве Е, то при любом а измеримы множества

E (f ³ a), E (f = a), E (f £ a), E (f < a),

Д о к а з а т е л ь с т в о. Легко проверить, что

E (f ³ a) =

откуда следует измеримость множества E (f³ a). Измеримость прочих множеств вытекает из соотношений:

E (f = a) = E(f ³ a) – E(f > a), E(f £ a) = E – E(f > a),

E (f < a) = E – E (f ³ a).

Замечание. Легко показать, что если хоть одно из множеств

E (f ³ a), E (f £ a), E (f < a)

оказывается измеримым при всяком а, то функция f ( x ) измерима на множестве Е (которое также предполагается измеримым).

Действительно, тождество ) показывает, например, что f(x) измерима, если измеримы все множества Е (f³а). Сходным образом устанавливаются и остальные утверждения. Таким образом, в определении измеримой функции можно заменить множество Е (f>a) любым из множеств (1).

Теорема 7. Если функция f ( x ), заданная на множестве Е, измерима, а k конечное число, то измеримы и функции 1) f ( x ) + k , 2) kf ( x ), 3) ç f ( x ) ç , 4) f ² ( x ), и если f ( x ) ¹ 0, то измерима и функция 5) .

Д о к а з а т е л ь с т в о . 1) Измеримость функции f(x) +k вытекает из соотношения Е (f+k>a) = E (f>a- k).

2) Измеримость функции kf(x) при k =0 следует из теоремы 5. Для прочих kизмеримость следует из очевидных соотношений

3) Функция çf(x) ç измерима потому, что

4) Аналогично, из того , что

E (f² > a) =

вытекает измеримость функции f ² (x).

5) Наконец, при f(x) ¹ 0 имеем

> a) =

откуда и следует измеримость .

Теорема 8 . Функция f ( x ), заданная и непрерывная на сегменте Е= , измерима.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего установим, что множество

F = E (f£ a)

замкнуто. Действительно, если x₀ есть предельная точка этого множества и x_n ®x₀ (x_n ÎF ), то f(x_n ) £aи, в силу непрерывности f(x), будет f(x₀ ) £a, т.е. x₀ ÎF, что и устанавливает замкнутость множества F.

Но тогда множество Е (f>а) = Е – Е(f£а) измеримо, и теорема доказана.

Из самого определения измеримой функции следует, что функция, заданная на неизмеримом множестве, неизмерима.

Однако легко обнаружить существование неизмеримой функции, заданной на измеримом множестве.

Определение 4. Пусть М есть подмножество сегмента Е = [А, В]. Функция jм (х), равная единице на множестве М и нулю на множестве Е–М, называется характеристической функцией множества М.

Теорема 9. Множество М и его характеристическая функция j _м одновременно измеримы или нет.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если функция j_M (х) измерима, то измеримость множества М вытекает из соотношения

М = Е (jм > 0).

Обратно, если М есть измеримое множество, то соотношения

устанавливают измеримость функции j_М (х).

Отсюда, между прочим, весьма просто получаются примеры разрывных измеримых функций.

Дальнейшие свойства измеримых функций

Лемма. Если на множестве Е заданы две измеримые функции f (х) и g (х), то множество Е ( f > g ) измеримо.

Действительно, если мы перенумеруем все рациональные числа r_1, r₂ , r₃ , …, то легко проверим справедливость соотношения

Е (f > g) = Е (f > r_k ) Е (g < r_k ),

откуда и следует лемма.

Теорема 1. Пусть f (х) и g (х) суть конечные измеримые функции, заданные на множестве Е. Тогда измерима каждая из функций 1) f (х) – g (х), 2) f (х) + g (х), 3) f (х) ^. g (х), и если g (х) ¹ 0, то измерима также функция 4) .