Курсовая работа: Измеримые функции
Отсюда следует, что в последовательности {xi } может быть только конечное число точек, принадлежащих множеству Fk при k¹m. Отметим все члены последовательности, которые входят в одно из множеств F1 , …, Fm -1 , Fm +1 , …, Fn , и пусть xi 0 , последний из них. Тогда при i > i0 необходимо будет x1 ÎFm , т.е. при i > i0 оказывается j (xi ) = j (x0 ), а это доказывает лемму.
Лемма 2. Пусть F есть замкнутое множество, содержащееся в сегменте [ a , b ]. Если функция j( x ) задана и непрерывна на множестве F , то можно определить на [ a , b ] функцию y( x ) со следующими свойствами
1) y( x ) непрерывна;
2) если x Î F , то y( x )= j( x );
3) max | y( x )| = max | j( x )|.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через [a, b] наименьший сегмент, содержащий множество F. Если бы требуемая функция y(x) была уже построена на сегменте [a, b], то достаточно было бы дополнить ее определение, полагая
чтобы получить требуемую функцию уже на всем сегменте [a, b].
Поэтому, не ограничивая общности, можно считать что [a, b] и есть наименьший сегмент, содержащий множество F.
Если F = [a, b], то теорема тривиальна. Будем считать, что F¹ [a, b]. Тогда множество [a, b] – F состоит из конечного или счетного множества взаимно не налегающих интервалов, концы которых принадлежат F (дополнительных интервалов множества F).
Зададим функцию y(x), полагая ее равной j(x) в точках множества F и линейной на всех дополнительных интервалах.
Убедимся в непрерывности этой функции. Непрерывность ее в каждой точке множества [a, b] – F очевидна.
Пусть х0 есть точка множества F . Мы покажем, что функция y(x) непрерывна в этой точке слева (непрерывность справа устанавливается совершенно аналогично).
Если точка х0 служит правым концом какого-нибудь дополнительного интервала, то непрерывность функции y(x) в этой точке слева очевидна.
Пусть же x0 не является правым концом никакого дополнительного интервала и пусть x1 < x2 < x3 <… последовательность точек, стремящихся к x0 .
Если xn ÎF (n = 1, 2, 3, …) то, используя непрерывность на множестве F функции j(x), имеем y(xn ) = j(xn ) ® j(x0 ) =y(x0 ). Поэтому можно считать, что хn 
F (n = 1, 2, 3, …).
В таком случае точка x1 попадает в какой-то дополнительный интервал (l1 , m1 ), причем m1 <х0 . Продолжая это рассуждение, мы приходим к последовательности (l1 , m1 ), (l2 , m2 ), (l3 , m3 ), … дополнительных интервалов, расположенных в порядке номеров слева направо и таких, что
Xk Î(l1 , m1 ) (k = ni -1 +1, …, ni ).
Соотношение xni <mi <x0 показывает, что mi , а из того, что mi -1 £li < x0 , ясно, что и li ®x0 .
Но li и mi входят в F, так что
lim y(li ) = limy(mi ) = y( x0 ).
Ввиду того, что значения линейной функции в каком-нибудь интервале лежат между ее значениями на концах этого интервала, ясно, что и limy(xn )=y(x0 ).
Итак, непрерывность функции y(x) доказана.
Из самого ее построения видно, что она совпадает с j(x) на множестве F.
Наконец по известной теореме Вейерштрасса, среди значений непрерывной на сегменте функции |y(x)| есть наибольшее – max |y(x)|. Легко видеть, что этот максимум достигается именно в точке, принадлежащей множеству F, ибо на дополнительных интервалах функция y(x) линейна. Поэтому max |y(x)| = max |j(x)|.
Лемма доказана полностью.
Теорема 2 (Э. Борель). Пусть на сегменте [ a, b] задана измеримая и почти везде конечная функция f( x). Каковы бы ни были числа s >0 и e >0 существует непрерывная на [ a, b] функция y( x), для которой
mE(| f- y| ³ s) < e
Если при этом | f( x)| £ K, то можно и y( x) выбрать так, что | y( x)| £ K.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим сначала, что |f(x)| £K, т.е. что функция f(x) ограничена.
Фиксируя произвольные s >0 и e >0, найдем столь большое натуральное m, что K/m<s, и построим множества
(i = 1 – m, 2 – m, …, m – 1)
Эти множества измеримы, попарно не пересекаются и
Построим для каждого i замкнутое множество Fi ÌEi с мерой 
и положим
