Курсовая работа: Классы конечных групп F, замкнутые о взаимно простых индексов относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп
Так как 
--- формация и 
, то отсюда получаем, что 
. Таким образом, 
.
Докажем утверждение 6). Пусть 
, 
. Если 
не входит в 
, то получается, что каждая -подгруппа из принадлежит , а значит, 
. Получили противоречие. Поэтому 
.
Покажем, что 
. Предположим, что множество 
непусто, и выберем в нем группу наименьшего порядка. Тогда не входит в 
. Пусть 
--- собственная подгруппа из 
. Так как классы 
и --- наследственные классы, то 
. Ввиду минимальности имеем 
. Значит, 
. Получили противоречие. Поэтому 
.
Докажем утверждение 7). Пусть 
и --- -подгруппа из группы . Отсюда следует, что 
, 
. А это значит, что 
. Отсюда нетрудно заметить, что 
. Следовательно, 
. Итак, 
. Лемма доказана.
1.3 Лемма [18-A]. Пусть --- наследственная насыщенная формация, 
--- ее максимальный внутренний локальный экран. Тогда и только тогда -корадикал любой минимальной не -группы является силовской подгруппой, когда:
1) 
;
2) формация имеет полный локальный экран 
такой 
, что 
для любого 
из 
.
Доказательство. Необходимость. Пусть --- максимальный внутренний локальный экран формации . Пусть --- произвольное простое число из . Так как 
--- насыщенный гомоморф, то по лемме 4.1.2, 
--- формация.
Пусть 
--- формация, имеющая локальный экран такой, что для любого из . Покажем , что 
. Согласно теореме 2.2.13, 
--- наследственная формация для любого из . Отсюда нетрудно заметить, что 
для любого из . А это значит, что 
.
Пусть --- группа минимального порядка из 
. Так как --- наследственная формация, то очевидно, что --- наследственная формация. А это значит, что 
и 
. Покажем, что --- полный локальный экран, т. е. 
для любого из . Действительно. Пусть --- произвольная группа из 
. Отсюда 
. Пусть 
--- произвольная 
-группа из . Так как 
, то 
. Отсюда 
. Так как --- полный экран, то 
. А это значит, что 
. Следовательно, 
. Отсюда нетрудно заметить, что . Теперь, согласно теореме 2.2.5, 
, где 
--- единственная минимальная нормальная подгруппа группы , --- -группа и 
. Так как 
и 
, то 
. Отсюда 
. Противоречие. Итак, . Покажем, что для любого из . Пусть 
и 
--- 
-группа. Пусть 
--- произвольная -подгруппа из . Тогда 
. Отсюда 
. А это значит, что 
. Противоречие.
Достаточность. Пусть --- произвольная минимальная не -группа. Так как разрешима, то по теореме 2.2.5,
где 
--- -группа, 
. Согласно условию, 
--- -группа. А это значит, что 
--- -замкнутая группа. Но тогда, --- -замкнутая группа. Согласно лемме 4.1.1, --- силовская подгруппа группы . Лемма доказана.
1.4 Лемма [18-A]. Пусть --- наследственная насыщенная формация, --- ее максимальный внутренний локальный экран. Тогда и только тогда любая минимальная не -группа бипримарна и -замкнута, где 
, когда:
1) 
;
2) формация имеет полный локальный экран такой, что и любая группа из 
является примарной -группой для любого простого из .
Доказательство. Необходимость. Пусть --- произвольная минимальная не -группа. Согласно условию, --- бипримарная -замкнутая группа, где . По лемме 4.1.1, 
. Согласно лемме 4.1.3, формация имеет полный локальный экран такой, что и для любого простого из . Покажем, что любая группа из 
примарна. Предположим противное. Тогда существует группа 
и 
. Пусть --- группа наименьшего порядка такая, что 
. Очевидно, что 
и 
. Нетрудно заметить, что 
и 
имеет единственную минимальную нормальную подгруппу. Значит, по лемме 2.2.18, существует точный неприводимый 
-модуль , где 
--- поле из элементов.
Пусть 
. Покажем, что 
. Поскольку 
и 
, то 
.
Пусть --- собственная подгруппа из 
. Покажем, что . Пусть 
. Если 
, то 
. Следовательно, . Пусть 
. Тогда --- собственная подгруппа из . А это значит, что 
и 
. Так как 
и --- наследственная формация, то 
. Но тогда и 
, а значит и .
Пусть теперь 
. Так как 
, то 
и 
. Отсюда следует, что . Итак, . Cогласно условию, бипримарна, что невозможно, т. к. 
.
Достаточность. Пусть --- произвольная минимальная не -группа. Согласно условию, разрешима. По теореме 2.2.5,
где --- -группа, 
.
Согласно условию, --- примарная -группа. А это значит, что --- бипримарная -замкнутая группа. Но тогда