Курсовая работа: Комплексные числа в планиметрии

Из равенства следует y=0 и обратно. Это значит, что число, рав­ное своему сопряженному, является действительным и обратно.

Точки с комплексными координатами z и -z симметричны относитель­но начальной точки О . Точки с комплексными координатами z и сим­метричны относительно оси у. Из равенства z = вытекает x =0 и об­ратно. Поэтому условие z = является критерием чисто мнимого числа.

Для любого числа z , очевидно, |z | = || = |- z | = ||.

Сумма и произведение двух сопряженных комплексных чисел являются действительными числами: .

Число, сопряженное с суммой, произведением или же частным комплекс­ных чисел, есть соответственно сумма, произведение или же частное чисел, сопряженных данным комплексным числам:

Эти равенства можно легко проверить, пользуясь формулами для опе­раций над комплексными числами.

Каждой точке М( z ) плоскости - взаимно однозначно соответствует век­тор . Поэтому комплексные числа можно интерпретировать векторами, приложенными к точке O . Сложению и вычитанию комплексных чисел отвечает сложение и вычитание соответствующих им векторов. Именно если а и b - комплексные координаты точек A и В соответственно, то число с=а+ b является координатой точки С, такой, что (рис.3). Комплексному числу d = a - b соответствует такая точка D , что .

Расстояние между точками А и В равно :

|АВ| = |а- b |. (1)

Так как | z |² = z , то

| AB | ² =(a-b)( ). (2)

Уравнение z = r ² определяет окружность с центром О радиуса r. Отношение , в котором точка С делит данный отрезок АВ, выражается через комплексные координаты этих точек так:

откуда (3)

Если положить и , то

(4)

Условия (4) необходимы и достаточны для того, чтобы точки А, В, С были коллинеарны.

При точка С является серединой отрезка AB , и обратно.

Тогда:

c = . (4a)

Пусть имеем параллелограмм ABCD . Его центр имеет комплексную координату = при условии, что точки А, В, С, D имеют соответственно комплексные координаты а, b , с, d . Если не исключать случай вырождения параллелограмма, когда все его вершины оказываются на одной прямой, то равенство

a+c = b+d (5)

является необходимым и достаточным условием того, чтобы четырехуголь­ник ABCD был параллелограммом.

Задача 1. Точки М и N — середины диагоналей АС и BD четырех­угольника ABCD. (Рис.1 )

Доказать, что |AB|² +|BC|² +|CD|² +|DA|² = |AC|² +|BD|² +4| MN |² .

Решение. Пусть точкам A , В, С, D, М, N соответствуют комплексные числа а, b , с, d, т, п.

Так как m = и n = , то

|AB|² +|BC|² +|CD|² +|DA|²

|AC|² +|BD|² +4|MN|²

.

Равенство доказано.

Задача 2. Доказать, что если в плоскости параллелограмма ABCD существует такая точка М, что |MA|² +|MC|² =|MB|² +|MD|² , тo ABCD - прямоугольник. (Рис.2 )

Решение. Если за начальную точку принять центр параллелограм­ма ABCD, то при принятых ранее обозначениях с= - a , d = - b , и поэтому данное в условии равенство будет эквивалентно равенству , которое означает, что диагонали параллелограмма равны, т. е. он прямоугольник.

Задача 3. Доказать, что сумма квадратов диагоналей AC, BD четырехугольника ABCD равна удвоенной сумме квадратов отрезков MN , PQ , соединяющих середины противополож­ных сторон . (Рис.3 )

C

B B C