Курсовая работа: Комплексные числа в планиметрии

Teope м a M онжа . Во вписанном в окружность четырехугольнике прямые, проходящие через середины сторон и. каждой диагонали перпенди­кулярно противоположным сторонам и соответственно другой диагонали, пересекаются в одной точке. Она называется точкой Монжа вписанного четырехугольника.

Доказательство. Серединные перпендикуляры к сторонам че­тырёхугольника ABCD пересекаются в центре описанной окружности, который примем за начальную точку. Для каждой точки М( z ) серединного перпендикуляра к [AB] число чисто мнимое.

В частности, при z=0 оно равно . Для каждой точки N ( z ) прямой, проходящей через середину стороны CD перпендикулярно (AB), число необходимо будет чисто мнимым и обратно. Но для z= оно равно т. е. чисто мнимое. Следовательно, точка Е с комплексной координатой

лежит на указанной прямой. А это выражение симметрично относительно букв а, b, с, d. Поэтому и остальные пять аналогично построенных прямых содержат точку Е.

Решим ещё несколько основных планиметрических задач.

3адача 3. Доказать, что диагонали четырехугольника ABCD , вписанного в окружность, перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух его противоположных сторон равна сумме квадратов двух других противоположных сторон.

Решение. Требуется доказать:

Запишем используя (15): . Тогда, воспользовавшись формулами (15), (2) и тем, что точки A , B , C , D принадлежат окружности , приходим к выводу, что

3адача 4. Доказать, что если средние линии MP , NQ четырехугольника ABCD равны, то его диагонали AC и BD перпендикулярны и обратно.

Решение. Требуется доказать: .

(a) так как

, cогласно (4a). Подставим эти выражения в равенства (a) и получим: но это и есть условие того, что (см. 14).

Углы и площади. Критерий принадлежности четырех точек одной окружности

Условимся обозначать символом положительно ориентирован­ный угол, на который надо повернуть вектор , чтобы он стал сонаправлен

с вектором. Если и, то точкам Р и Q соответст­вуют комплексные числа b—а и d—c(рис.7) и

(24)

Эта формула в применении к положительно ориентированному треуголь­нику АВС дает:

(25)

Если z=r( ,то Отсюда

(26)

Тогда так как

Итак,

(27)

Аналогично находим:

. (28)

Выведем формулу для площади S положительно ориентированного треугольника АВС:

или

(29)

что можно записать в виде определителя третьего порядка:

(30)

Если треугольник АВС вписан в окружность , то формула (29) преобразуется к виду

. (31)

Для площади S положительно ориентированного четырехугольника ABCD имеем:

(32)

Если четырехугольник ABCD вписан в окружность zz==l, то (32) при­нимает вид:

(33)

Три произвольно взятые точки всегда принадлежат либо одной окруж­ности, либо одной прямой. Критерии принадлежности трех точек одной прямой рассмотрены выше.

Докажем КРИТЕРИЙ принадлежности четырех точек одной окружности или прямой.