Курсовая работа: Комплексные числа в планиметрии

Параллельность и перпендикулярность. Коллинеарность трех точек

ОПР: Пусть на плоскости комплексных чисел даны точки А(а) и B(b). Векторы и сонаправлены тогда и только тогда, когда arg a = arg b , т. е. при arg а - arg b = arg =0 (при вычитании комплексных чисел, из аргумента делимого вычитается аргумент делителя!).

Очевидно также, что эти векторы направлены противоположно в том и только в том случае, если arg a - arg b=arg _.

Комплексные числа с аргументами 0, , являются действительными. ТЕОРЕМА (Критерий коллинеарности точек О, А, В): Для того чтобы точки А(а) и В( b ) были коллинеарны с начальной точкой О , необходимо и достаточно, чтобы частное было действительным числом, т. е.

или (6)

Действительно, так как в этом случае число действительное ( k = ), то кри­терий (6) эквивалентен такому:

. (7)

Возьмем теперь точки A(а), B(b), C(c), D(d).

ОПР : Векторы и колли­неарны тогда и только тогда, когда точки, определяемые комплексными числами а—b и с—d, коллинеарны с началом О.

Замечание:

1. На основании (6) имеем:

; (8)

2. Если точки А, В, С, D принадлежат единичной окружности =l,то

, и поэтому условие (8) принимает вид:

; (9)

3. Коллинеарность точек A , В, С характеризуется коллинеарностью век­торов и . Используя (8), получаем:

. (10)

Это критерий принадлежности точек A , B , С одной прямой. Его можно представить в симметричном виде

(11)

Если точки A и B принадлежат единичной окружности =l, то , и поэтому каждое из соотношений (10) и (11) преобразуется (после сокращения на (а- b ) в такое:

(12)

Точки А и В фиксируем, а точку С будем считать переменной, переобозна­чив ее координату через z . Тогда каждое из полученных соотношений (10), (11), (12) будет уравнением прямой АВ:

, (10а)

. (12a)

В частности, прямая ОА имеет уравнение

Переходим к выводу критериев перпендикулярности отрезков. Ясно, что

Комплексные числа с аргументами и - являются чисто мнимыми.

Поэтому,

или

(13)

Отрезки АВ и CD перпендикулярны тогда и только тогда, когда векторы точек с комплексными координатами а— b и с— d перпендикулярны. В си­лу (13) имеем:

(14)

В частности, когда точки А, В, С, D принадлежат единичной окружности =l, то зависимость (14) упрощается:

(15)

Выведем уравнение касательной к единичной окружности =l в ее точке

P (р) . Если М (z) — произвольная точка этой касательной, то и обратно. На основании (14) имеем:

или

.

Поскольку , то уравнение касательной становится таким:

. (16)

Это частный случай уравнения (12a) при а= b =р. Решим еще две вспомогательные задачи, необходимые для решения содержательных геометрических задач.

Задача 1. Найти координату точки пересечения секущих АВ и CD единичной окружности =l, если точки А, В, С, D лежат на этой окруж­ности и имеют соответственно комплексные координаты а, b , с, d .