Курсовая работа: Комплексные числа в планиметрии

называется двойным отношением точек A , В, С, D и обозначается (AB , CD ) . Порядок точек существен.

Теорема. Для того чтобы, четыре точки лежали на одной прямой или на одной окружности, необходимо и достаточно, чтобы их двойное отношение было действительным числом.

Доказательство. Если точки А, В, С, D коллинеарны, то отно­шения и действительные числа (см. условие (10)). Следовательно, в этом случае будет действительным и двойное отношение (34). Если точки А , В, С, D лежат на окружности, то рассмотрим два воз­можных случая:

1) точки С и D находятся в одной полуплоскости от прямой АВ ;

2) точки С и D находятся в различных полуплоскостях от прямой АВ .

В первом случае ориентированные углы ВСА и BDA равны, во втором случае ВСА+АDВ= ±, т. е. ВСА-ВСА= ±. В обоих случаях разность равна нулю или ±. Но поскольку согласно (24) эта разность равна

то — действительное число.

Обратно: если двойное отношение четырех точек действительно, то эти точки или коллинеарны, или принадлежат одной окружности. В самом деле, тогда если действительное число, то и действительное число. Поэтому точки А, В, С коллинеарны и точки А, В, D коллинеарны, и, значит, все четыре точки коллинеарны. Если же число комплексное, то и число также комплексное, отличное от действительного. Поэтому точки A, B, С неколлинеарны и точки А, В, D также неколлинеарны. Так как по условию двойное отношениевещественно, то

Следовательно, либо BCA = BDA , либо ВСА—В D А=±, т.е. ВСА+ ADB =± . В первом случае отрезок АВ из точек С и D виден под равными углами, и, стало быть, они принадлежат одной дуге окружности, стягиваемой хордой АВ. Во втором случае сумма противоположных углов четырехугольника ACBD равна ±, и поэтому он будет вписанным в окружность. Доказательство закончено.

Задача 1. В окружности проведены три параллельные хорды Доказать, что для произвольной точки М окружности прямые образуют равные углы соответственно с прямыми ВС, СА, АВ.

Решение. Принимая окружность за единичную, отнесем точкам А , В, С, A ₁ , B ₁ , C ₁ комплексные числа Тогда по условию (9) параллельности хорд имеем Следует доказать, что (рис.8).

Первое равенство эквивалентно такому:

Или

т. е. эта дробь должна быть числом действительным. А это имеет место, поскольку сопряженное ей число

равно этой же дроби. Аналогично доказывается и второе равенство углов.

Задача 2. На плоскости даны четыре окружности так, что окружности и пересекаются в точках и ; окружности и пе­ресекаются в точках и , окружности и — в точках и и ок­ружности и — в точках и . Доказать, что если точки лежат на одной окружности или прямой, то и точки также лежат на одной

окружности или прямой (рис.9).

Решение. Согласно теореме этого параграфа и условию задачи будут действительрыми двойные отношения:

Поэтому будет действительным и число

Следовательно, из вещественности двойного отношения вы­текает вещественность и двойного отношения .

Подобные и равные треугольники. Правильный треугольник

ОПР: Треугольники АВС и подобны и одинаково ориентированы (по­добие первого рода), если только и

(углы ориентированные).

Эти равенства с помощью комплексных чисел можно записать так: