Курсовая работа: Кооперативные игры

причём

a_i ³ 0 (iÎN)

= u(N) –

В бескоалиционных играх исход формируется в результате действий тех самых игроков, которые в этой ситуации получают свои выигрыши. Исходом в кооперативной игре является делёж, возникающий не как следствие действия игроков, а как результат их соглашений. Поэтому в кооперативных играх сравниваются не ситуации, как это имеет место в бескоалиционных играх, а дележи, и сравнение это носит более сложный характер.

Кооперативные игры считаются существенными, если для любых коалиций K и L выполняется неравенство

u(K) + u(L) < u(KÈL),

т.е. в условии супераддитивности выполняется строгое неравенство. Если же в условии супераддитивности выполняется равенство

u(K) + u(L) = u(KÈL),

т.е. выполняется свойство аддитивности, то такие игры называются несущественными.

Справедливы следующие свойства :

1) для того чтобы характеристическая функция была аддитивной (кооперативная игра – несущественной), необходимо и достаточно выполнение следующего равенства:

= u(N)

2) в несущественной игре имеется только один делёж

{u(1) , u(2) , ... , u(n) };

3) в существенной игре с более чем одним игроком множество дележей бесконечно

( u(1) + a₁ , u(2) + a₂ , ... , u(n) +a_n )

где

a_i ³ 0 ( i Î N ) , u(N) —> 0

Кооперативная игра с множеством игроков N и характеристической функцией u называется стратегически эквивалентной игрой с тем же множеством игроков и характеристической функцией u¹ , если найдутся такие к > 0 и произвольные вещественные C_i ( iÎN ), что для любой коалиции К Ì N имеет место равенство:

u¹ (K) = k u (K) +

Смысл определения стратегической эквивалентности кооперативных игр (с.э.к.и.) состоит в том что характеристические функции с.э.к.и. отличаются только масштабом измерения выигрышей k и начальным капиталом C_i . Стратегическая эквивалентность кооперативных игр с характеристическими функциями u и u¹ обозначается так u~u¹ . Часто вместо стратегической эквивалентности кооперативных игр говорят о стратегической эквивалентности их характеристических функций .

Справедливы следующие свойства для стратегических эквивалентных игр:

1. Рефлексивность, т.е. каждая характеристическая функция эквивалентна себе u~u.

2. Симметрия, т.е. если u~u¹ , то u¹ ~u.

3. Транзитивность, т.е. если u~u¹ и u¹ ~u² , то u~u² .

Из свойств рефлексивности, симметрии и транзитивности вытекает, что множество всех характеристических функций единственным образом распадается на попарно непересекающиеся классы, которые называются классами стратегической эквивалентности.

Отношение стратегической эквивалентности игр и их характеристических функций переносится на отдельные дележи :

пусть u~u¹ , т.е. выполняется (5), и x = (x₁ , ..., x_n ) – дележи в условиях характерис- тической функции u; рассмотрим вектор x¹ = (, ..., ) , где = k x_i +C_i ; для него выполняется

= k x_i + C_i ³ k u( i ) + С_i = u¹ ( i );