Курсовая работа: Кооперативные игры

== k+= k u(N) += u¹ (N)

т.е. выполняется условие коллективной рациональности. Поэтому вектор является дележом в условиях u¹ . Говорят, что делёж x¹ соответствует дележу x при стратегической эквивалентности u~u¹ .

Кооперативная игра называется нулевой, если все значения её характеристической функции равны нулю. Содержательное значение нулевой игры состоит в том, что в ней игроки не имеют никакой заинтересованности .

Всякая несущественная игра стратегически эквивалентна нулевой .

Определение. Кооперативная игра с характеристической функцией u имеет (0,1)-редуцированную форму, если выполняются соотношения :

u( i ) = 0 ( i Î N ),

u(N) = 1.

Теорема. Каждая существенная кооперативная игра стратегически эквивалентна одной и только одной игре в (0,1)-редуцированной форме.

Сформулированная теорема показывает, что мы можем выбрать игру в (0,1)-редуцированной форме для представления любого класса эквивалентности игр. Удобство этого выбора состоит в том, что в такой форме значение u(K) непосредственно демонстрирует нам силу коалиции S (т.е. ту дополнительную прибыль, которую получают члены коалиции, образовав её), а все дележи являются вероятностными векторами.

В игре в (0,1)-редуцированной форме дележём является любой вектор x = (x₁ , ..., x_n ), для которого

x_i ³ 0 (i Î N) = 1.

Перечисление характеристических функций с малым числом игроков.

Как было сказано ранее, для каждого множества игроков N существует единственный класс стратегически эквивалентных несущественных игр с множеством игроков N. Таким образом, остаётся рассмотреть классы существенных кооперативных игр.

Рассмотрим сначала классы игр в (0,1)-редуцированной форме для случая игр с нулевой суммой.

1. Игры 2-х игроков. Всякая кооперативная игра двух игроков с нулевой суммой является несущественной.

Доказательство. Предположим, что имеется существенная кооперативная игра двух игроков с характеристической функцией u, Тогда она должна быть стратегически эквивалентна некоторой игре в (0,1)-редуцированной форме с характеристической функцией u¹ , что означает следующее :

u¹ (1) = 0, u¹ (2) = 0, u¹ (1,2) = 1

По свойству дополнительности должно

u¹ (2) = u¹ (1,2) – u¹ (1) = 1 – 0 =1,

что противоречит (*). А это значит, что наше предположение о существенности кооперативной игры двух игроков с нулевой суммой неверно.

Итак, класс кооперативных игр двух игроков с нулевой суммой ограничивается несущественными играми.

2. Игры 3-х игроков. Пусть u – характеристическая функция существенной игры в (0,1)-редуцированной форме, тогда

u(1) = u(2) = u(3) = 0, u(1,2,3) = 1.

По свойству дополнительности имеем :

u(1,2) = u(1,2,3) – u(3) = 1– 0 =1,

u(1,3) = u(1,2,3) – u(2) = 1– 0 =1,

u(2,3) = u(1,2,3) – u(1) = 1– 0 =1,

и, таким образом, характеристическая функция полностью определена. Итак, имеется два класса кооперативных игр трёх игроков с нулевой суммой: класс существенных и класс несущественных игр.

3. Игры 4-х игроков. Рассмотрим все классы стратегической эквивалентности таких игр.

Прежде всего имеется класс несущественных игр в (0,1)-редуцированной форме определим характеристическую функцию u такой игры