Курсовая работа: Кооперативные игры

u(1,2,3,4) = 1.

Исходя из свойства дополнительности, получаем

u(1,2,3) = u(1,2,3,4) – u(4) = 1– 0 =1;

u(1,2,4) = u(1,2,3,4) – u(3) = 1– 0 =1;

u(1,3,4) = u(1,2,3,4) – u(2) = 1– 0 =1;

u(2,3,4) = u(1,2,3,4) – u(1) = 1– 0 =1.

Теперь необходимо определить значения характеристической функции на коалициях двух игроков. Всего таких коалиций шесть

(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4).

Характеристическая функция на этих коалициях согласно свойству дополнительности удовлетворяет только следующим соотношениям :

u(1,4) = 1– u(2,3),

u(1,3) = 1– u(2,4),

u(1,2) = 1– u(3,4).

Так как значений неизвестных шесть, а соотношений только три, то значения из шести могут быть выбрана произвольно. Обозначим эти произвольные значения через x₁ , x₂ , x₃ , т.е.

u(1,4) = x₁ , u(2,4) = x₂ , u(3,4) = x₃ ,

Тогда

u(2,3) = 1– x₁ , u(1,3) = 1– x₂ , u(1,2) = 1– x₃ .

Кроме того должно быть

0 £ x₁ , x₂ , x₃ £ 1 ,

так как значение характеристической функции на коалиции из двух игроков не может быть меньше, чем значение характеристической функции для одного из этих игроков (равное нулю для одного игрока), и не может быть больше, чем значение характеристической функции для коалиции из трёх игроков (равное 1 для трех игроков). Геометрически (x₁ , x₂ , x₃ ) можно изобразить как точку единичного куба, т.е. каждому классу стратегической эквивалентности игр четырёх игроков будет соответствовать точка единичного куба.

Итак, множество классов стратегической эквивалентности существенных игр четырёх игроков бесконечно и зависит от трёх произвольных параметров.

4. Игры, состоящие из более чем 4-х игроков, имеют большее разнообразие классов стратегической эквивалентности существенных игр.

Так, размерность множества классов игр n игроков равна , т.е. имеется произвольных параметров.

Рассмотрим теперь кооперативные игры без условия постоянства суммы.

1. Для игр 2-х игроков множество N={1,2}, условия редуцированности дают

u(Æ) = u(1) = u(2) = u(1,2) = 1.

Таким образом, существенные кооперативные игры двух игроков с ненулевой суммой составляют один класс стратегической эквивалентности.

2. Для игр 3-х игроков множество N={1,2,3}, условия редуцированности дают

u(Æ) = u(1) = u(2) = u(3) = 0; u(1,2,3) = 1.

Значения характеристической функции на множествах коалиций двух игроков произвольные (здесь нет условия дополнительности)