Курсовая работа: Линейные электрические цепи постоянного и синусоидального тока

Для любого узла выполняется первый закон Кирхгофа (выбрасываем только собственный узел).

.

Учитываем, что узел к узлу никакого отношения не имеет, его можно вынести за скобку:

.

Отсюда

,

сумма проводимостей всех ветвей, сходящихся к узлу, умноженная на потенциал собственного узла, взятая со знаком «плюс», минус сумма произведений проводимостей между i -м и j -м узлом и потенциалов соответствующих узлов равна взятой со знаком «минус» сумме произведений источников на проводимости.

Рисунок 5

?? ???????? ??? ????? ?? ??????? ???????.

Теперь включим источник тока (рис 5). В данном случае он будет вытекающим. С учетом его наличия, уравнение по первому закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:

.

Полученный результат также соответствует результату, полученному ранее для частного примера.

Если мы теперь посмотрим на уравнение

,

где в могут входить как источники тока, так и источники ЭДС, умноженные на проводимость, – собственные проводимости, берутся со знаком «+», – взаимные проводимости, берутся со знаком «–».

Получим эту же систему уравнений в стандартном виде, т.е. через стандартную ветвь. Для стандартной ветви:

.

Опираясь на закон Ома и записанные выше уравнения, получим:

.

Вспомним про редуцированную матрицу инциденций, умножим правую и левую часть на :

Сравниваем число уравнений и число неизвестных. Матрица дает нам N -1 уравнений, а число неизвестных – это число ветвей графа. Вспоминаем, что

Подставляем это в полученное ранее выражение:

Свели уравнение к полному. Получаем относительно :

Теперь можем найти все необходимое:

,