Метод можно обобщить. Пусть каким-то образом удалось найти систему 2n векторов так, что

=0 при . (12)

Умножая обе части равенства (1) на и используя представление через , как и ранее, получим:

. (13)

Опять получилась система линейных алгебраических уравнений с треугольной матрицей для определения . Несколько усложнив вычисления можно получить систему диагонального вида. Для этого построим три системы векторов , так что имеют место равенства:

(14)

(15)

(16)

Тогда

, (17)

так как при i<r

(18)

и при i>r

(19)

Таким образом,

(20)

Остановимся подробнее на первом из описанных методов. Рассмотрим случай, когда матрица А симметрическая и положительно определенная. Последнее означает, что для любого вектора квадратичная форма его компонент больше или равна нулю, причем равенство нулю возможно в том и только том случае, если вектор нулевой. Как мы видели ранее, нужно построить систему векторов , удовлетворяющих условиям

=0 . (21)

Это построение можно осуществить следующим образом. Исходим из какой-то системы линейно независимых векторов , например из системы единичных векторов, направленных по координатным осям:

(22)

Далее проводим «ортогонализацию». Принимаем и ищем в виде

. (23)

Из условия находим:

(24)

Ищем в виде

. (25)

Условия влекут за собой

(26)

Далее поступаем также.

Процесс будет осуществим, так как все . Это же обеспечит нам разрешимость системы для определения коэффициентов . Заметим, что в нашем случае это будет процесс настоящей ортогонализации, если в пространстве векторов ввести новое скалярное произведение при помощи соотношения