Курсовая работа: Метод ортогонализации и метод сопряженных градиентов

Нетрудно проверить, что введенное таким способом скалярное произведение будет удовлетворять всем требованиям, которые к нему предъявляются.

При решении системы n уравнений по настоящей схеме требуется произвести

(28)

операций умножения и деления.

1.2 Метод ортогонализации в случае несимметрической матрицы

В случае несимметрической матрицы процесс ортогонализации проводится точно также. Пусть векторы уже построены. Тогда ищется в виде

(29)

Коэффициенты определяются из системы

(30)

Система в случае несимметрической матрицы будет треугольной.

Аналогично строится система «биортогональных» векторов, т.е. система 2n векторов, удовлетворяющих условию (12). При этом – n произвольных линейно независимых векторов, а векторы строятся последовательно в виде

(31)

Коэффициенты находятся из системы

(32)

Также поступаем, отыскивая коэффициенты и , при построении систем векторов (14) и (15), удовлетворяющих условиям (16).

При этом получим две системы:

(33)

из которых и определяем и .

Остановимся еще на одном методе ортогонализации. Будем рассматривать строки матрицы А как векторы:

(34)

Ортонормируем эту систему векторов. Первое уравнение системы делим на . При этом получим

(35)

где

(36)

Второе уравнение системы заменится на

(37)

где

(38)

Аналогично поступаем дальше. Уравнение с номером i примет вид