I . Теоретические сведения по теме «Признаки равенства треугольников ».….3

II . Методика изучения темы «Признаки равенства треугольников»

УРОК 1. Тема урока «Треугольник. Виды треугольников»…………………….…..8

УРОК 2. Тема урока: «Свойства равнобедренного и равностороннего треугольников» ……………………………………………………………………….11

УРОК 3. Тема урока: «Построение треугольников. Равенство треугольников» ..15

УРОК 4. Тема урока: «Признаки равенства треугольников» ..................................18

УРОК 5. Тема урока: “Решение прикладных задач» ................................................22

УРОК 6. Обобщающий урок по теме «Признаки равенства треугольников»……26

Приложения к урокам………………………………………………………………...30

Перечень использованной литературы……………………………………………...33

I . Теоретические сведения по теме «Признаки равенства треугольников »

Признаки равенства треугольников

Первый признак

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны

Справочная таблица.

Теорема 1 (признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство.

Пусть у треугольников АВС и А₁ В₁ С₁ Ð А = Ð А₁ , АВ=А₁ В₁ , АС=А₁ С₁ . Докажем, что треугольники равны, т.е. докажем, что у них и ÐВ=ÐВ₁ , ÐС=ÐС₁ , ВС=В₁ С₁ .

По аксиоме существования треугольника, равного данному, существует треугольник А₁ В₂ С₂ , равный треугольнику АВС, у которого вершина В₂ лежит на луче А₁ В₁ , а вершина С₂ лежит одной полуплоскости с вершиной С₁ относи-тельно прямой А₁ В₁ . Так как А₁ В₁ =А₁ В₂ , то по аксиоме откладывания отрезков точка В₂ совпадает с точкой В₁ . Так как ÐВ₁ А₁ С₁ =ÐВ₂ А₁ С₂ , то по аксиоме откладывания углов луч А₁ С₂ совпадает с лучом А₁ С₁ . И так как А₁ С₁ =А₁ С₂ , то вершина С₂ совпадает вершиной С₁ . Итак, треугольник А₁ В₁ С₁ совпадает с треугольником А₁ В₂ С₂ , а значит, равен треугольнику АВС. Теорема доказана.

Теорема 2 (признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам). Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство.

Пусть АВС и А₁ В₁ С₁ – два треугольника, у которых Ð А = Ð А₁ , ÐВ=ÐВ₁ , АВ=А₁ В₁ . Докажем, то треугольники равны, т.е. докажем, что АС=А₁ С₁ , ÐС=ÐС₁ , ВС=В₁ С₁ . По аксиоме существования треугольника, равного данному, существует треугольник А₁ В₂ С₂ равный треугольнику АВС, у которого вершина В₂ лежит на луче А₁ В₁ , а вершина С₂ лежит в одной полуплоскости вершиной С₁ относительно прямой А₁ В₁ . Так как А₁ В₂ =А₁ В₁ , то вершина В₂ совпадает с вершиной В₁ . Так как ÐВ₁ А₁ С₂ =ÐВ₁ А₁ С₁ и ÐА₁ В₁ С₂ =ÐА₁ В₁ С₁ , то по аксиоме откладывания углов луч А₁ С₁ совпадает с лучом А₁ С₂ , а луч В₁ С₁ совпадает с лучом В₁ С₂ . Отсюда следует, что вершина С₂ совпадает вершиной С₁ . Итак, треугольник А₁ В₁ С₁ совпадает с треугольником А₁ В₂ С₂ , а значит, равен треугольнику АВС. Теорема доказана.

Определение. Треугольник называется равнобедренным , если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника.

Теорема 3. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство.

Пусть АВС – равнобедренный треугольник с основанием АВ. Докажем, что у него ÐА=ÐВ. Треугольник САВ равен треугольнику СВА по первому признаку равенства треугольников. Действительно, СА=В, СВ=СА, ÐС=ÐС. Из равенства треугольников следует, что ÐА=ÐВ. Теорема доказана.

Определение. Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним.

Теорема 4. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Доказательство.

Пусть АВС – треугольник, в котором ÐА=ÐВ. Докажем, что он равнобедренный с основанием АВ. Треугольник АВС равен треугольнику ВАС по второму признаку равенства треугольников. Действительно, АВ=ВА, ÐВ=ÐА, ÐА=ÐВ. Из равентва треугольников следует, что АС=ВС. Теорема доказана.

Теорема 4 называется обратной теореме 3. Заключение теоремы 3 является условием теоремы 4. А условие теоремы 3 является заключением теоремы 4.

Определение. Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный из этой вершины к прямой, содержащей противолежащую сторону треугольника.

Определение. Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне.

Определение. Мединой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника.

Теорема 5. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Доказательство.

Пусть АВС – данный равнобедренный треугольник с основанием АВ. Пусть СК – медиана, проведенная к основанию. Треугольники САД и СВД равны по первому признаку равенства треугольников. (У них стороны АС и ВС равны, потому что треугольник АВС равнобедренный. Углы САК и СВК равны по теореме 3. Стороны АК и ВК равны, потому что К – середина отрезка АВ.) Из равенства треугольников следует равенство углов: ÐАСК=ÐВСК, ÐАКС=ÐВКС. Так как углы АКС и ВКС равны, то СК – биссектриса. Так как углы АКС и ВКС смежные и равны, то они прямые, поэтому СК – высота треугольника. Теорема доказана.

Теорема 6 (признак равенства треугольников по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство.

Пусть АВС и А₁ В₁ С₁ два треугольника, у которых АВ=А₁ В₁ , АС=А₁ С_1, ВС=В₁ С₁ . Докажем, что эти треугольники равны. По аксиоме существования треугольника, равного данному, существует треугольник А₁ В₁ С₂ , равный треугольнику АВС, у которого вершина С₂ лежит в одной полуплоскости с вершиной С₁ относительно прямой А₁ В₁ . Допустим, что вершина С₁ не лежит ни на луче А₁ С₁ , ни на луче В₁ С₁ . Пусть К – середина отрезка С₁ С₂ . Треугольники А₁ С₁ С₂ и В₁ С₁ С₂ – равнобедренные с общим основанием С₁ С₂ . По теореме 5 их медианы А₁ К и В₁ К являются высотами. Значит, прямые А₁ К и В₁ К перпендикулярны прямой С₁ С₂ . Но это невозможно, так как через точку прямой можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию. Значит, вершина С₂ лежит либо на луче А₁ С₁ , либо на луче В₁ С₁ . В первом случае точка С₂ совпадает с С₁ , так как А₁ С₁ =АС. А это значит, что треугольник АВС равен треугольнику А₁ В₁ С₁ . Точно так же приходим к выводу о равенстве треугольников во втором случае. Теорема доказана.

II . Методика изучения темы «Признаки равенства треугольников»

УРОК 1

Тема урока: «Треугольник. Виды треугольников»

Цели урока:

• развить представление о многоугольнике;
• вывести понятие треугольника и его элементов, познакомиться с классификацией треугольников по сторонам и углам;

Из опыта практической деятельности получить вывод о сумме углов треугольника.

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--