Курсовая работа: Моделювання задач масового обслуговування ЕОМ

В моделі використана формула суми геометричної прогресії. Чим ближче інтенсивність потоку до інтенсивності обслуговування , тим через більший проміжок часу зникне черга. Якщо величиною можна знехтувати для спрощення, тоді можемо записати, що

1.1.2.2 Задача аналізу розімкнутої системи з очікуванням (потоки вимог Пуасоновські)

а) Постановка задачі.

Нехай дана деяка система масового обслуговування, для котрої справедливі наступні гіпотези:

1) ймовірність надходження вимог не залежить від прийнятого початку відліку часу, а залежить тільки від часу періоду спостереження (потік стаціонарний)

2) не надходять до систему і не покидають її одночасно 2 чи більше вимог (потік стаціонарний)

3) надходження однієї вимоги не залежить від надходження іншої (відсутність післядії). Відомі також інтенсивність надходження потоків вимог (середнє число обслуговування за одиницю часу - ). Потрібно визначити основні характеристики системи, а саме:

- P – ймовірність простою каналу обслуговування

- - ймовірність того, що в системі знаходяться n-вимог

- - середнє число вимог, що знаходяться в системі

- - середнє число вимог, що знаходяться в черзі

- - середній час очікування вимог в системі.

Потік вимог, що володіє якостями стаціонарності, ординарності та відсутністю післядії, називають простішим. В нашій задачі потік вимог простіший. Основним поняттям при аналізі процесу системи масового обслуговування є стан системи. Знаючи стан системи можна передбачити у ймовірностному сенсі її поведінку. Простіший потік – це стаціонарний Пуасоновський потік. Якщо всі потоки подій, що переводять систему із одного стану до іншого являються Пуасоновськими, то для цих системи ймовірність стану описується за допомогою систем звичайних диференційних рівнянь. В більшості задач не прикладного характеру заміна неПуасоновського потоку подій Пуасоновським з тими ж інтенсивностями призводить до отримання рішення, котре мало відрізняються від істинного, а іноді і зовсім не відрізняється. В якості критерію відмінності реального стаціонарного потоку від Пуасоновського можна розглядати близькість математичного очікування числа дисперсій подій, що надходять на визначеній ділянці часу в реальному потоці.

Існує визначений математичний прийом, що значно полегшує вивід диференційного рівняння для ймовірностного стану. Спочатку будується розмічений граф стану з показом можливих переходів. Це полегшує дослідження та робить його більш наглядним. Граф стану, на котрому проставлені не тільки стрілки переходів, але й інтенсивність відповідних потоків подій називають розміченим.

Закреслимо розмічений граф стану одноканальної розімкнутої системи масового обслуговування з очікуванням (рисунок 1.3):

........

S0

Sn+1

Sn

Sn-1

S1

Рисунок 1.3

Якщо складений розмічений граф стану, то для побудови математичної моделі, тобто для складання системи звичайних диференційних рівнянь рекомендується використовувати наступні правила:

- Похідна ймовірності перебування системі у стані n дорівнює алгебраїчній сумі наступних величин: число величин цієї суми дорівнює числу стрілок на графі стану системи, що з’єднує стан n з іншими станами.

- Якщо стрілка направлена в стан n, то відповідна величина береться зі знаком “+” .

- Якщо стрілка направлена зі стану n – то зі знаком “-“.

- Кожна величина суми дорівнює добутку ймовірностей того стану, з котрого направлена стрілка на інтенсивність потоку подій, що переводять систему по даній стрілці.

У відповідності з розміченим графом стану, використовуючи даний стан, запишемо систему звичайних диференційних рівнянь ймовірностей стану таким чином:

;

б) Дослідження математичної моделі.