Курсовая работа: Нестандартные методы решения задач по математике
Первоначально приведем формулировки неравенства Коши, неравенства Бернулли и неравенства Коши--Буняковского, а затем проиллюстрируем их применение на примерах, взятых из программы вступительных экзаменов по письменной математике в Белгосуниверситете.
Неравенство Коши
Пусть ,
, ...,
, тогда
где . Причем неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда
. В частности, если в положить
, то
Это неравенство чаще всего встречается при решении школьных задач по математике. Если в положить и
, где
, то
Здесь неравенство равносильно равенству лишь при .
Следует отметить, что имеется аналог неравенства для отрицательных значений , а именно, если
, то
Данное неравенство превращается в равенство при .
Неравенство Бернулли
Наиболее распространенным является классическое неравенство Бернулли, которое формулируется в следующей форме: если , то для любого натурального
имеет место
Причем равенство в достигается при или
.
Наряду с существует обобщенное неравенство Бернулли, которое содержит в себе два неравенства:
если или
, то
если , то
где .
Следует отметить, что равенства в и имеют место только при . Верно также и обратное утверждение.
Неравенство Коши--Буняковского
Для произвольных и
имеет место
где .
Причем равенство в достигается в том и только в том случае, когда числа . и
пропорциональны, т.е. существует константа
такая, что для всех
выполняется равенство
.
На основе использования неравенства Коши--Буняковского можно доказать неравенство