Курсовая работа: Нестандартные методы решения задач по математике
Следовательно, имеем 
и 
.
Ответ: 
, 
; 
, 
; 
, 
; 
, 
.
Пример 15 Решить уравнение
Решение. Применим к левой части уравнения неравенство Бернулли , а к правой части --- неравенство , тогда
и
Отсюда следует, что неравенства Бернулли, примененные к обеим частям уравнения , обращаются в равенство, а это возможно лишь в том случае, когда 
.
Ответ: .
Пример 16 Доказать неравенство
где 
, 
.
Доказательство. Непосредственно из неравенства следует 
. Используя это неравенство и неравенство Коши , получаем неравенство следующим образом:
Пример 17 Доказать, что
где 
, 
, 
--- стороны треугольника, a 
--- его площадь.
Доказательство. Известно, что 
, где 
--- угол между сторонами 
и . Поскольку 
, то 
. Используя неравенство Коши 
, получаем верхнюю оценку площади треугольника вида 
. По аналогии с изложенным выше имеет место 
и 
.
Тогда 
.
Отсюда следует справедливость неравенства .
Пример 18 Доказать, что для всякого прямоугольного параллелепипеда с ребрами 
, 
, 
и диагональю 
имеет место неравенство
Доказательство. Воспользуемся неравенством Коши--Буняковского , тогда 
.
Поскольку в прямоугольном параллелепипеде 
(теорема Пифагора), то 
. Отсюда следует справедливость неравенства . Заметим, что равенство в достигается тогда и только тогда, когда прямоугольный параллелепипед является кубом.
Пример 19 Пусть 
--- точка, лежащая внутри прямоугольника 
, и 
--- его площадь. Доказать, что
Доказательство. Через точку , лежащую внутри прямоугольника , проведем 
и 
. Обозначим 
, 
, 
и 
. Тогда 
, 
, 
, 
, 
и требуемое неравенство принимает вид
