Курсовая работа: Невласні подвійні інтеграли

Нарешті, визначення невласного інтеграла легко поширюється на випадок необмеженої області і визначеної в ній функції, яка на скінченній відстані має особливі точки.

З а у в а ж е н н я. Якби при побудові невласного інтеграла, окрім особливих точок (або ліній), ми стали виділяти і деякі такі точки (або лінії), які на ділі не є особливими, то ця обставина ніяк не могла б відбитися ні на існуванні, ні на величині тієї межі, якою представляється інтеграл. Насправді, припустимо, наприклад, до особливих точок додається неособлива точка А і, крім того, що необхідне визначення невласного інтеграла, - ми виділяємо ще околицю цієї точки А. Алепоблизу А функція обмежена, і інтеграл по згаданому околі, разом з її площею, прямує до 0.

Приведення подвійного інтеграла до повторного.

Обмежимося спочатку припущенням, що функція f(x,y) невідємна. Якщо ця функція задана в необмеженій області будь-якої форми, то, вважаючи її додатною поза цією областю рівною нулю, завжди можна звести справу до випадку необмеженої прямокутної області. Припустимо, що йдеться про нескінченний в одному напрямі прямокутник [a , b ; c ,+∞ ] (a , b , c -граничні числа, причому b > а). Передбачимо, що в кожному граничному прямокутнику [а, b ; c , d ](при будь-якому d>c ) існують як подвійний інтеграл, так і одновимірний інтеграл по y - обоє увласному сенсі, так що має місце формула

Бажаючи встановити подібну формулу для нескінченного прямокутника, тобто для випадку d =+∞, припустим о , що збігається повторний інтеграл

Оскільки при будь-якому d>c маємо

то по попередньому матеріалузвідси вже випливає збіжність подвійного інтеграла

який, вочевидь, не перевершує I . Залишається лише довести, що подвійний інтеграл рівний I .

Якщо інтеграл є функцією від х, інтегровану у власному сенсі, отже, обмежену деякою постійною L , то і поготів

В такому разі

Зіставляючи це з (9) і (10), приходимо до необхідного результату.

Встановлений факт зберігає силу і в тому випадку, якщо інтегралI збігається, як невласний. Припустимо, наприклад, b єєдиною особливою точкою для функції від х. Тоді подоведеному, при ,

і обидві частини рівності при 𝜂→0 прямують до І . Беручи до уваги, що

знову говоримо про рівність подвійного і повторного інтегралів за прямокутником [а, b ; c ,+∞ ].

Відмітимо, що якби невласний повторний інтеграл мав нескінченне значення, то, як видно з попередніх двох співвідношень, таке ж було б і значення подвійного інтеграла.

Отже, маємо подібно (9)

причому з існування повторного інтеграла з права вже випливає існування подвійного інтеграла. Рівність зберігається навіть у тому випадку, коли інтеграл з права рівний +∞.

Звернемося, нарешті, до розгляду прямокутника [а, +∞; c ,+∞ ], що тягнеться в нескінченність по двох взаємно перпендикулярних напрямках. І тут передбачимо, що в кожному кінцевому прямокутнику [а, b ; c , d ](при будь-яких b>a і d>c )існують у власному сенсі подвійний інтеграл і простий інтеграл по y.

Для даного випадку також може бути встановлена формула