Курсовая работа: Определение дуальных и двойных чисел

Считая, что это соотношение сохраняет силу и для прямых, не пересекающих o , условимся относить противопараллельной o прямой m , отстоящей от o на расстоянии {o , m }=d , число

(заметим, что если расстояние {o , m } от o до параллельной o прямой m , совпадающей по положению на плоскости с прямой m , равно d , то d =- d ). Прямой o , отличающейся только направлением от полярной оси o (противооси), мы сопоставим число .

Тем самым мы устанавливаем полное соответствие между ориентированными прямыми плоскости и дуальными числами, включая сюда также и числа вида w , где w 0 вещественно, и число .

Очевидно, что вещественным числам отвечают проходящие через полюс O прямые; числам модуля 1 – перпендикулярные o прямые; чисто мнимым числам v (числам нулевого модуля) и числам бесконечного модуля w отвечают параллельные и противопараллельные оси o прямые. Сопряжённым числам и отвечают прямые симметричные относительно полюса O ; противоположным числам и – прямые, симметричные относительно полярной оси o (т.е. прямые, пересекающие o в одной и той же точке L и образующие сo равные углы {o , z }={- z , o }; см. рис. 2, б); числам z и отвечают прямые, отличающиеся только направлением. Таким образом, равенства

(а), (б), (в) (21)

можно понимать как записи определённых преобразований в множестве ориентированных прямых плоскости: симметрии относительно точки O , симметрии относительно прямой o и переориентации (изменения направления всех прямых плоскости на противоположное).

Выясним теперь, как записываются с помощью дуальных чисел произвольные движения (к числу которых отнесём и переориентацию, также не меняющую расстояний между точками плоскости).

Параллельный перенос вдоль o на расстояние t переводит прямую, которой отвечает дуальное число

,

в прямую, которой отвечает число

(рис. 3, а). Отсюда вытекает, что этот параллельный перенос можно записать так:

, где , (22)

(т.к. ).

Параллельный перенос на расстояние t в направлении, перпендикулярном o , переводит прямую

в прямую

(рис. 3, б). Но

.

Последнюю формулу можно записать в более изящном виде. Заметим, что

;

таким образом, рассматриваемый параллельный перенос записывается формулой

, где , . (22, а)

Отсюда вытекает, что произвольный параллельный перенос, т.е. перенос на расстояние t в направлении o и на расстояние t в направлении lo , записывается формулой

, , ,