Курсовая работа: Определение дуальных и двойных чисел

Воспользовавшись теперь формулой (28), мы можем переписать условие (31) следующим образом:

,

или, несколько упростив левую часть последнего равенства и преобразовав правую,

.

Но

и

(т.к. и )

Таким образом, равенство (31) можно переписать в следующей простой форме:

. (32)

Дуальное число естественно называть двойным отношением четырёх прямых , , и ; обозначать его будем символом W (,,,). Таким образом, условием того, что четыре прямые , , и принадлежат одной ориентированной окружности (ненулевого радиуса или окружности радиуса нуль – точке), является вещественность двойного отношения W (,,,)= этих четырёх прямых.

Последнему условию можно придать вид:

=, (33)

откуда вытекает, что уравнение ориентированной окружности (которая в частном случае может оказаться и точкой), определяемой тремя данными прямыми , , и , имеет вид

=. (34)

Таким образом, уравнение каждой ориентированной окружности (или точки) можно записать в форме (35):

, A иC – чисто мнимые. (35)

Нетрудно проверить, что и, обратно, уравнение (35) всегда выражает окружность (или точку).

Прямую уравнение (35) выражает при

. (36)

2.2 Двойные числа как ориентированные прямые плоскости Лобачевского

В полной аналогии с пунктом 2.1 ориентированным прямым плоскости Лобачевского можно сопоставить двойные числа. А именно, введём, как в пункте 2.1, полярную систему координат для прямых и отнесём каждой пересекающей полярную ось o ориентированной прямой l , имеющей полярные координаты , s , двойное число

, (37)

а расходящейся с o прямой m , направленной в ту же сторону, что и o от их общего перпендикуляра PQ , – число

, (37а)

где d ={m ,o }={P ,Q } – кратчайшее ориентированное расстояние между прямыми m и o , т.е. ориентированное расстояние от o проекции P на прямую m общего перпендикуляра прямых m и o , s ’={O ,Q } – ориентированное расстояние от полюса O системы координат до проекции Q общего перпендикуляра на o (рис. 6).