Курсовая работа: Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине
Доказательство:
Пусть дана матрица
, которая обратима и пусть существуют матрицы
обратные к
т.е.
. Имеем
Обозначение: Множество всех обратимых матриц порядка над полем
обозначается
Теорема 3
Справедливы утверждения:
1) алгебра
2) группа
Доказательство:
1)
-это бинарная операция
а) Пусть , так как
-обратимые матрицы, проверим, что
-это бинарная операция:
обратные к
Аналогично: ,
обратимая матрица т.е
-это бинарная операция
б) , матрица
обратима, поэтому
-это унарная операция
в) обратима т.е
2) Докажем второе утверждение, что группа. Для этого проверим аксиомы групп:
1)
2)
3)
группа
Следствие:
Произведение обратимых матриц есть обратимая матрица
Если обратима, то
обратима
§2 Элементарные матрицы
Пусть поле скаляров