Курсовая работа: Определитель произведения прямоугольных матриц. Теорема Коши-Бине

VI) Если каждый элемент -строки(столбца) квадратной матрицы есть сумма двух элементов, то определитель равен сумме двух определителей. В матрице первого определителя в - строке (столбце), записаны первые слагаемые, а в матрице второго определителя вторые слагаемые. Остальные элементы матриц этих определителей такие же как у матрицы

Доказательство:

VII) Ели к какой либо строке (столбцу) матрице определителя прибавить другую строку (столбец), умноженный на , то определитель неизменится.

Доказательство:

Для столбцов анологично.

VIII) Если какая либо строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией других строк (столбцов) , то определитель

Доказательство:

Если какая то строка линейная комбинация других строк, то к ней можно прибавить другие строки, умноженные на скаляры так, чтобы получилась нулевая строка. Определитель такой матрицы равен нулю.

Пример:

(сначала умножаем первую строку на -2 и складываем со второй, затем на -3 и складываем с третей). Такое правило приведения к треугольному виду используется для определителей - порядка:

так как определитель треугольной матрицы равен произведению элементов расположенных на главной диагонали.

Если квадратная матрица является произведением некоторых матриц (которые могут быть прямоугольными), то часто бывает важно иметь возможность выразить определитель произведения в терминах свойств множителей. Следующая теорема –мощный показатель этого.

§4 Миноры и алгебраические дополнения.

Теоремы об определителях.

поле скаляров,

Опр. Минор элемента определителя порядка - определитель порядка , полученный из вычеркиванием -строки и -столбца.

Главные миноры определителя

Для главные миноры есть определители

, , …, ,

Пример:

Рассмотрим матрицу и вычислим ее миноры : , ,

Определение. Алгебраическим дополнением элемента обозначается называется число

Пример: Вычислим , ,

Лемма 1

и.