Г(z+1)=(z+g+0.5)^z+0.5 exp(-(z+g+0.5))[a₀ +a₁ /(z+1)+a₂ /(z+2)+...+a_n /(z+n)+eps]

Эта формула похожа на аппроксимацию Стирлинга, но в ней имеется корректирующая серия. Для значений g=5 и n=6, проверено, что величина погрешности ε не превышает 2*10^-10 . Более того, погрешность не превышает этой величины на всей правой половине комплексной плоскости: z > 0.

Для получения (действительной) гамма-функции на интервале x>0 используется рекуррентная формула Г(z+1)=zГ(z) и вышеприведенная аппроксимация Г(z+1). Кроме того, можно заметить, что удобнее аппроксимировать логарифм гамма-функции, чем ее саму. Во-первых, при этом потребуется вызов только одной математической функции - логарифма, а не двух - экспоненты и степени (последняя все равно использует вызов логарифма), во-вторых, гамма-функция - быстро растущая для больших x, и аппроксимация ее логарифмом снимает вопросы переполнения.

Для аппроксимации Ln(Г(х) - логарифма гамма-функции - получается формула:

log(Г(x))=(x+0.5)log(x+5.5)-(x+5.5)+

log(C₀ (C₁ +C₂ /(x+1)+C₃ /(x+2)+...+C₇ /(x+8))/x)

Значения коэффициентов C_k - табличные данные (см. в программе).

Сама гамма-функция получается из ее логарифма взятием экспоненты.

Заключение

Гамма функции являются удобным средством для вычисления некоторых интегралов в частности многих из тех интегралов, которые не представимы в элементарных функциях.

Благодаря этому они широко применяются в математике и ее приложениях, в механике, термодинамике и в других отраслях современной науки.

Список литературы

1. Специальные функции и их приложения:

Лебедев И.И.,М.,Гостехтериоиздат,1953

2. Математический анализ часть 2:

Ильин О.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х.,М.,”Московский университет”,1987

3. Сборник задач по математическому анализу:

Демидович Б.П.,М.,Наука,1966

4. Интегралы и ряды специальные функции:

Прудников А.П., Брычков Ю.А.,М.,Наука,1983

5. Специальные функции:

Кузнецов , М.,”Высшая школа”,1965

6.Асимптотика и специальные функции

Ф.Олвер, М.,Наука,1990.

7.Зоопарк чудовищ или знакомство со спецмальными функциями

О.М.Киселёв,

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1 - График гамма-функции действительного переменного

Приложение 2 – График Гамма-функции

Таблица – таблица значений гамма-функции при некоторых значениях аргумента.

Приложение 3 – листинг программы, рисующий таблицу значений гамма-функции при некоторых значениях аргумента.

Приложение 4 – листинг программы, рисующей график гамма-функции

СОДЕРЖАНИЕ