Курсовая работа: Особые свойства Гамма-функции Эйлера
Повторный интеграл представим как двойной несобственный интеграл. Это можно сделать, воспользовавшись теоремой Фубини. В результате получим:
Несобственный интеграл равномерно сходится. Его можно рассматривать, например, как интеграл по треугольнику, ограниченному осями координат и прямой x+y = R при R. В двойном интеграле сделаем замену переменных:
Якобиан этой замены
Пределы интегрирования: u меняется от 0 до ∞, v при этом меняется от 0 до 1. В результате получим:
Перепишем опять этот интеграл как повторный, в результате получим:
где Rp > 0, Rv > 0.
2. Производная гамма функции
Интеграл
сходится при каждом ,поскольку
,и интеграл
при
сходится.
В области , где
- произвольное положительное число, этот интеграл сходится равномерно, так как
и можно применить признак Вейрштраса. Сходящимся при всех значениях
является и весь интеграл
так как и второе слагаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любом
.Легко видеть что интеграл сходится по
в любой области
где
произвольно. Действительно для всех указанных значений
и для всех
,и так как
сходится, то выполнены условия признака Вейерштрасса. Таким образом , в области
интеграл
сходится равномерно.
Отсюда вытекает непрерывность гамма функции при.Докажем дифференцируемость этой функции при
.Заметим что функция
непрерывна при
и
, и покажем ,что интеграл :
сходится равномерно на каждом сегменте ,
. Выберем число
так , чтобы
; тогда
при
.Поэтому существует число
такое , что
и
на
.Но тогда на
справедливо неравенство
и так как интеграл сходится, то интеграл
сходится равномерно относительно
на
. Аналогично для
существует такое число
, что для всех
выполняется неравенство
. При таких
и всех
получим
, откуда в силу признака сравнения следует , что интеграл
сходится равномерно относительно
на
. Наконец , интеграл
в котором подынтегральная функция непрерывна в области
, очевидно, сходится равномерно относительно
на
. Таким образом , на
интеграл
сходится равномерно , а, следовательно , гамма-функция бесконечно дифференцируема при любом и справедливо равенство
.
Относительно интеграла можно повторить те же рассуждения и заключить, что