Курсовая работа: Полунормальные подгруппы конечной группы

Следовательно,

Пусть

Тогда делит для каждого и поэтому

делит , т.е. . Для имеем , откуда .

Теорема доказана.

Лемма 1.6 . Если – нормальная подгруппа конечной группы и – силовская – подгруппа из , то .

Доказательство. Пусть – произвольный элемент из . Так как , то и по следствию 1.4 подгруппы и сопряжены в . Поэтому, существует элемент такой, что , откуда

и

Таким образом, .

Лемма доказана.

Лемма 1.7 Каждая подгруппа конечной группы, содержащая нормализатор некоторой силовской подгруппы, самонормализуема .

Доказательство. Пусть – силовская подгруппа группы и – подгруппа группы , содержащая . Так как , то по лемме Фраттини

Лемма доказана.

Лемма 1.8 Пусть – –подгруппа конечной группы , и не делит . Тогда

Доказательство. Ясно, что

По условию подгруппа является силовской подгруппой в . Пусть

Тогда и по лемме Фраттини .

Лемма доказана.

Пример 1.9 Симметрическая группа степени 6 имеет порядок . По теореме Силова содержит подгруппы порядков . Силовская 2‑подгруппа имеет порядок , силовская 3‑подгруппа имеет порядок и силовская 5‑подгруппа имеет порядок 5.

Пример 1.10 Группа порядка 15 циклическая.