Курсовая работа: Полунормальные подгруппы конечной группы
поэтому
и 
. Следовательно, группа 
абелева. Теперь ясно, что 
– циклическая группа.
2. Полунормальные подгруппы
2.1 Свойства супердобавлений
Определение 2.1.1 Подгруппу, обладающую супердобавлением, называют полунормальной подгруппой. Таким образом, подгруппа 
группы 
называется полунормальной подгруппой, если существует такая подгруппа 
, что 
и 
– собственная подгруппа группы для каждой подгруппы 
из , отличной от .
Пример 2.1.2 Нормальные и квазинормальные подгруппы являются полунормальными и любые их минимальные добавления будут супердобавлениями.
Пример 2.1.3 В симметрической группе 
силовская 
–подгруппа является полунормальной подгруппой, но не квазинормальной.
Лемма 2.1.4 Если подгруппа 
полунормальна в группе и в группе нет собственных добавлений к , то квазинормальна.
Доказательство. Так как по условию все добавления к подгруппе совпадают с самой группой , то и супердобавлением к будет . Теперь из определения полунормальной подгруппы следует, что перестановочна со всеми собственными подгруппами группы .
Лемма доказана.
Введем следующие обозначения. Если 
– подгруппа группы , то 
– множество всех супердобавлений к подгруппе в группе . Ясно, что 
в точности тогда, когда не является полунормальной подгруппой.
Пусть и 
– подгруппы группы , 
и подгруппа 
нормальна в группе . Введём следующие обозначения:
– обычное теоретико множественное включение, то есть любая группа 
содержится в 
.
Запись
означает, что для любой подгруппы 
существует подгруппа 
такая, что 
содержится в 
.
Лемма 2.1.5 Если – полунормальная подгруппа группы 
и , то 
– полунормальная подгруппа группы 
и
Доказательство. Пусть 
. Тогда 
и 
– собственная подгруппа группы для любой подгруппы 
из 
, отличной от 
. Ясно, что 
для любого элемента 
из , а так как 
можно считать произвольной в 
подгруппой, отличной от 
, то 
– собственная подгруппа группы 
. Поэтому полунормальна в и – супердобавление к 
в группе , то есть 
. Отсюда следует, что