Курсовая работа: Понятие состояния квантово-механической системы. Принцип суперпозиции

Аналогично понятие нормы даёт возможность множество элементов (функций) рассматривать как некоторые «пространство», в котором также можно проводить измерения. Расстояние между элементами и определяется числом

Таким образом, множество функций, характеризующих состояние квантовомеханической системы, образуют метрическое пространство. Оно называется пространством Гильберта. В этом пространстве можно определить скалярное произведение функций:

. (1.3.2)

Если скалярное произведение равно нулю:

то функции и считают ортогональными. Норма определяется через скалярное произведение функции саму на себя:

.

Свойства скалярного произведения:

(1.3.3а)

(1.3.3б)

, только если (1.3.3в)

Из соотношения (1.3.3а) следует, что скалярное произведение комплексной функции саму на себя вещественно:

Указанные свойства -функции аналогичны свойствам векторов в евклидовом пространстве. Эту аналогию рассмотрим подробнее при изучении операторов квантовой механики.

Итак, множество состояний квантовомеханической системы может быть представлено как пространство Гильберта.

Гильбертово пространство есть множество элементов (в нашем случае – функций, характеризующих состояние квантовой системы), на котором определены операции сложения, умножения на число и скалярное произведение с указанными выше свойствами (1.3.3).

Вопросы для самопроверки

1. Сформулировать первый постулат квантовой механики.

2. Какая связь между -функцией системы и вероятностью результатов измерения физических величин в данном состоянии?

3. Сформулировать принцип суперпозиции состояний.

4. Объяснить, чем квантовомеханическая суперпозиция отличается от классической?

5. Охарактеризуйте понятие "пространство Гильберта".

Упражнения

1.1. Частица локализована в области на оси и ее состояние описывается функцией . Найти коэффициент нормировки.

1.2. Состояние частицы, локализованной на оси в интервале описывается функцией . Найти вероятность ее обнаружения в области .

1.3. Состояние частицы в данный момент времени описывается волновой функцией , представляющей собой суперпозицию волн де Бройля с одинаковыми амплитудами и мало отличающимися волновыми числами в интервале . Определить распределение плотности вероятности местонахождения частицы и размер области ее локализации.

1.4. В момент времени волновая функция частицы имеет вид , где и – постоянные. Определить нормировочный коэффициент , изобразить примерный вид зависимости от и область локализации частицы.