Курсовая работа: Понятие состояния квантово-механической системы. Принцип суперпозиции

называется нормальным или гауссовским, – среднее значение случайной величины, – ее дисперсия.

1.5. Частица локализована на оси в области и ее состояние описывается функцией

Вычислить среднее значение ее координаты и дисперсию .

2. Операторы квантовой механики

2.1 Операторы динамических переменных

Функция есть рецепт, позволяющий по данному числу x найти другое число . Подобно этому оператор – рецепт, позволяющий по заданной функции найти другую функцию . Оператор определен на некотором множестве функций, если указано действие, с помощью которого каждой функции множества сопоставляется другая функция: . (Оператор будем обозначать буквой со “шляпкой”).

Примеры:

1. Если функция получается из с помощью операции дифференцирования, то это можно записать следующим образом:

,

где - оператор, действующий на функцию .

2. В физике часто используют оператор Лапласа:

.

3. Оператор умножения на независимую переменную x:

.

Физика имеет дело с наблюдаемыми процессами, явлениями, объектами. Наблюдения, измерения всегда связаны со взаимодействием изучаемого объекта с чем-то внешним (окружением, прибором, наблюдателем). Это взаимодействие всегда сопровождается возмущением изучаемого объекта. В классической физике предполагалось, что это возмущение можно сделать как угодно малым и им пренебречь. Однако существование кванта действия означает, что есть предел малости возмущения, которым для микрообъектов пренебречь нельзя. Измерение в квантовой механике – взаимодействие макроприбора с микроскопической системой – существенно меняет состояние последней. Физической процедуре измерения в математическом формализме теории соответствует оператор, действующий на -функцию, характеризующую состояние системы. Измерение меняет состояние системы, оператор изменяет -функцию, характеризующую состояние.

Следующее утверждение считается одним из постулатов квантовой механики:

каждой физической величине в квантовой механике соответствует оператор . Он определяется таким образом, чтобы среднее значение этой величины в состоянии выражалось соотношением

(2.1.1)

или в скобочной форме

(2.1.1а)

Здесь q – набор независимых переменных, от которых зависит -функция, – произведение дифференциалов этих переменных. Интегрирование проводится по всей области изменения независимых переменных. Операторы динамических переменных обозначают теми же буквами, что и соответствующие физические величины, но со “шляпкой” над ними. Например, оператор координаты , оператор импульса , оператор энергии и т.п.

Чтобы не нарушался принцип суперпозиции, операторы динамических переменных в квантовой механике должны быть обязательно линейными. Применение оператора к суперпозиции функций и должно равняться суперпозиции результатов действия этого оператора к каждой из функций и . Оператор называется линейным, если он удовлетворяет условиям:

,

где с – произвольная постоянная. Эти условия можно объединить

.

Типичные примеры линейных операторов: умножение на независимую переменную , дифференцирование по x.