Курсовая работа: Понятие состояния квантово-механической системы. Принцип суперпозиции
Вычитаем почленно второе уравнение из первого и, учитывая эрмитовость оператора 
, (см. равенство (2.1.4а)), получаем
(2.4.1)
Если 
, то 
и из этого соотношения следует
(2.4.2)
или
, (2.4.2а)
что и требовалось доказать. Если 
, скобка в соотношении (2.4.1) равна нулю, а интеграл, по условию нормировки, должен равняться единице:
(2.4.3)
Формулы (2.4.2) и (2.4.3) можно объединить в одну
, (2.4.4)
или
, (2.4.4а)
где 
- символ Кронекера,
Аналогичное соотношение имеет место для ортов прямоугольных координатных осей в евклидовом пространстве:
.
Функции, удовлетворяющие условию (2.4.4) называют ортонормированными.
Физический смысл ортогональности собственных функций 
и 
оператора заключается в том, что при измерении физической величины 
в этих состояниях мы обязательно получим разные значения: 
- в состоянии , 
- в состоянии . В дальнейшем мы вернемся к обсуждению значения ортогональности собственных функций эрмитовых операторов в структуре квантовой теории.
в) Докажем, что совокупность собственных функций эрмитового оператора является полной (замкнутой) системой. Это означает, что не существует еще какой-то другой функции, которая была бы ортогональна к собственным функциям данного эрмитового оператора.
Доказательство. Пусть 
- собственные функции оператора 
с дискретным спектром собственных значений, а 
- произвольная квадратично интегрируемая функция. (Для простоты рассуждений независимой переменной будем считать координату х).
Разложим 
-функцию в ряд по собственным функциям :
. (2.4.5)
Сумма в правой части равенства содержит
