Курсовая работа: Понятие состояния квантово-механической системы. Принцип суперпозиции

,

следовательно

(2.3.2)

Теперь мы имеем возможность найти состояния, в которых физическая величина А имеет точно определенное значение. В таких состояниях среднее квадратичное отклонение должно равняться нулю, т.е. . Следовательно,

=0.

Поскольку под интегралом находится положительная величина, последнее равенство возможно при условии

, т.е. или

(2.3.3)

Так как в состоянии , удовлетворяющем уравнению (2.3.3) физическая величина точно определена, она равна своему среднему значению. Обозначая это значение физической величины буквой а, можем записать = и . Т.е. является собственным значением оператора , соответствующим собственной функции . Таким образом, в состоянии, которое описывается собственной функцией оператора ,соответствующая физическая величина имеет точно определенное значение, равное собственному значению этого оператора. Если же -функция, описывающая состояние системы, не является собственной функцией оператора физической величины, то при ее измерении в этом состоянии будем получать различные значения из спектра собственных значений данного оператора. Это утверждение обычно формулируют в виде одного из постулатов квантовой механики.

Собственные значения оператора, сопоставляемого данной физической величине, являются теми значениями этой величины, которые реализуются в процессах измерения.

Это утверждение (3-й постулат) имеет очень большое значение для физической интерпретации математического аппарата квантовой механики. Требование, чтобы собственные функции оператора удовлетворяли стандартным условиям часто ограничивает возможные значения физической величины. Учет этих требований приводит к дискретному спектру собственных значений. Таким образом, мы имеем дело с математическим отображением процесса квантования в физике.

2.4 Свойства собственных значений и собственных функций эрмитовых операторов

а) Докажем, что собственные значения самосопряженных операторов являются действительными числами.

Доказательство. Напишем уравнение собственных значений

и комплексно с ним сопряженное

Умножим левую и правую часть первого уравнения слева на , второго на и проинтегрируем их по всей области изменения независимых переменных

,

.

Поскольку операторы самосопряженные, левые части этих равенств одинаковы (см. соотношение (2.1.2)). Вычитая почленно второе соотношение из первого, получаем

.

Поскольку функции квадратично интегрируемы и интеграл в левой части, по условию нормировки, равен единице, получаем или . Это означает, что собственные значения самосопряженных операторов – действительные числа. Поэтому в квантовой механике могут использоваться только самосопряженные операторы – при измерении физических величин можно получить только действительные значения.

б) Докажем, что собственные функции самосопряженных операторов, соответствующие разным собственным значениям, взаимно ортогональны. Для определенности принимаем, что спектр собственных значений оператора дискретный и вырождение отсутствует.

Доказательство. Напишем уравнения собственных значений для операторов и :

,

,

Умножаем левую и правую часть на слева, второго – на справа и интегрируем по всей области изменения независимых переменных:

,