Курсовая работа: Понятие состояния квантово-механической системы. Принцип суперпозиции

.

Символически это записывается так:

.

Например,

Произведением операторов и будем называть оператор , который определяется следующим образом:

,

причем на функцию сначала действуем ближайшим к ней оператором, а потом на полученный результат – следующим,

.

Символически произведение операторов записывается в виде .

Например, . Подействуем произведением этих операторов на функцию :

.

Если действие одного и того же оператора повторяется n раз, это записывается в виде степени этого оператора:

.

Например,

.

Произведение операторов зависит от порядка множителей. Например, если , то Но . Очевидно, что в этом случае . Таким образом, операторы, вообще говоря, являются некоммутативными (неперестоновочными). Если , то операторы называют комутирующими. В этом случае . Выражение называют коммутатором.

2.3 Собственные функции и собственные значения оператора

В результате действия оператора на функцию иногда получается та же самая функция, умноженная на некоторое число а:

(2.3.1)

Например,

.

Если имеет место уравнение (2.3.1) и функции удовлетворяют стандартным условиям (конечность, непрерывность, однозначность), то называют собственной функцией оператора , а число – его собственным значением, соответствующим данной собственной функции . Соотношение (2.3.1) называют уравнением собственных значений оператора. Совокупность чисел , при которых это уравнение имеет решение, удовлетворяющее стандартным условиям, называют спектром собственных значений оператора. Спектр собственных значений может быть как дискретным, так и непрерывным множеством. Если спектр собственных значений дискретный, то собственные функции и собственные значения нумеруют:

, n= 1, 2, 3,…

Число n называют квантовым.

Иногда одному и тому же собственному значению соответствует несколько собственных функций. В таком случае говорят, что собственное значение является вырожденным. Число разных функций, принадлежащих одному и тому же собственному значению, называют кратностью вырождения.

Перейдем к физической интерпретации рассмотренных выше математических понятий. Отклонение физической величины A от ее среднего значения есть: . Введем оператор, соответствующий этой величине: . Тогда по формуле (2.1.1) можно найти среднее квадратичное отклонение физической величины от ее среднего значения в состоянии :

.