Курсовая работа: Построение математической модели оптимального управления обеспечивающего мягкую посадку при

Ускорение силы тяжести для планеты g=1,62 м/с² , величина с=3000 м/с.

Задание к курсовому проекту

1.) Составить гамильтониан Н, воспользовавшись необходимыми условиями оптимальности для задачи Майера.

2.) Из условия максимизации Н по u найти оптимальное управление.

3.) Получить каноническую систему уравнений и в результате прийти к краевой задаче, для которой в момент t=0 заданы компоненты x₀ , x₁ , x₂ , а в момент t=T‑компоненты x₁ , x₂ , ψ₀ .

4.) Из условия Н(Т)=0 получить соотношение для определения неизвестного времени Т.

5.) Произвести анализ необходимых условий оптимальности, начав с исследования возможности существования особого вырожденного управления, то есть случая, когда функция переключения

.

Доказать, что К_u не может обратиться в нуль на конечном интервале времени и, следовательно, особого управления в данной задаче не существует.

Показать, что К_u есть монотонная функция t.

Рассмотреть четыре возможных случая:

а) K_u >0 для всех ;

б) K_u <0 для всех ;

в) K_u >0 для , K_u <0 для ;

г) K_u <0 для , K_u >0 для .

Показать, в каких случаях (из физических соображений) мягкая посадка невозможна, в каком из реализуемых случаев расход топлива меньше.

Получить программу оптимального управления, когда до некоторого момента t₁ управление отсутствует u*=0, а начиная с t=t₁ , управление равно своему максимальному значению u*=u_max , что соответствует минимальному расходу топлива.

6.) Решить каноническую систему уравнений, рассматривая ее для случаев, когда и управление u*=0, и когда , u*=u_max .

Приравнивая х₁ (Т) и х₂ (Т) нулю, получить два уравнения относительно t₁ и Т. Таким образом, краевую задачу свести к системе, состоящей из двух нелинейных уравнений относительно двух неизвестных t₁ , Т. Составить программу расчета. Получив решение этой системы, решить полностью исходную задачу программирования оптимального управления мягкой посадкой КА на планету. В заключение следует построить фазовую траекторию спуска КА и определить конечную массу m(Т).

Выполнение задания курсового проекта

Нам известно, что

, где с – сила тяги двигателя,

m – масса космического аппарата;

– ускорение аппарата.

То есть, масса · ускорение = сумме сил, действующих на аппарат.

β – секундный расход массы m: .

Расход массы обеспечивает силу тяги двигателя (P=c·β), ее можно менять в пределах .

можно найти из исходных данных – выразив из отношения силы тяги к начальной массе P_max /m(0):

;