Курсовая работа: Представление функции рядом Фурье
Таким образом, заданную в промежутке функцию при соблюдении условий оказывается возможным разлагать как по косинусам, так и по одним лишь синусам.
Особого исследования требуют точки и
. Здесь оба разложения ведут себя по-разному. Предположим, для простоты, что заданная функция
непрерывна при
и
, и рассмотрим сначала разложение по косинусам. Условие
, прежде всего, сохраняет непрерывность при
, так что ряд (21) при
будет сходиться именно к
. Так как, далее,
то и при имеет месть аналогичное обстоятельство.
Иначе обстоит дело с разложением по синусам. В точках и
сумма ряда (23) явно будет нулем. Поэтому она может дать нам значения
и
, очевидно, лишь в том случае, если эти значения равны нулю.
Если функция задана в промежутке
то, прибегнув к той же замене переменной, что и в предыдущем параграфе, мы сведем вопрос о разложении ее в ряд по косинусам
или в ряд по синусам
к только что рассмотренному. При этом коэффициенты разложений вычисляются, соответственно, по формулам
или
.
Примеры разложения функций в ряд Фурье
Функции, которые ниже приводятся в качестве примеров, как правило, относятся к классу дифференцируемых или кусочно-дифференцируемых. Поэтому сама возможность их разложения в ряд Фурье—вне сомнения, и на этом мы останавливаться не будем.
Все задания взяты из Сборника задач и упражнений по математическому анализу, Б. Н. Демидович.
№ 2636. Функцию разложить в ряд Фурье.
Так как функция является нечетной, то, следовательно,
будет четной. Поэтому ее разложение в ряд Фурье содержит одни лишь косинусы.
Найдем коэффициенты разложения;
№ 2938. Разложить в ряд Фурье функцию . Изобразить этой функции и графики нескольких частных сумм ряда Фурье этой функции.
Функция нечетная, поэтому ее разложение будет содержать одни лишь синусы.
То есть, получается, что при четных значениях n коэффициент , а следовательно и все слагаемое, обращается в нуль. Поэтому суммирование идет только лишь по четным значениям n.
Ряд Фурье для этой функции примет следующий вид:
.
Ниже изображены графики функций и нескольких частных сумм ряда Фурье:
График функции ,
,
и