Курсовая работа: Представления конечных групп

– полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы

Введение

В данной работе приведены доказательства следующих теорем:

Теорема. Непустое подмножество группы будет подгруппой тогда и только тогда, когда и для всех .

Группой называется непустое множество с бинарной алгебраической операцией (умножением), которая удовлетворяет следующим требованием:

1) операция определена на , т.е. для всех ;

2) операция ассоциативна, т.е. для любых ;

3) в существует единичный элемент, т.е. такой элемент , что для всех , что для всех ;

4) каждый элемент обладает обратным, т.е. для любого существует такой элемент , что .

Более кратко: полугруппа с единицей, в которой каждый элемент обладает обратным, называется группой .

Группу с коммутативной операцией называют коммутативной или абелевой . Если – конечное множество, являющиеся группой, то называют конечной группой , а число элементов в – порядком группы .

Подмножество группы называется подгруппой , если – группа относительно той же операции, которая определена на . Запись означает, что – подгруппа группы , а – что – собственная подгруппа группы , т.е. и .

Централизатор . Пусть – непустое подмножество группы . Совокупность всех элементов группы , перестановочных с каждым элементом множества , называется централизатором множества в группе и обозначается через .

Лемма

1. Если – подмножество группы , то централизатор является подгруппой.

2. Если и – подмножество группы и , то

3. Если – подмножество группы и , то

Центр группы . Центром группы называется совокупность всех элементов из , перестановочных с каждым элементом группы. Центр обозначается через . Ясно, что , т.е. центр группы совпадает с централизатором подмножества в группе . Кроме того, .

Зафиксируем в группе элемент . Пересечение всех подгрупп группы , содержащих элемент , назовем циклической подгруппой, порожденной элементом , и обозначим через .

Теорема. Циклическая подгрупппа , порожденная элементом , состоит из всевозможных целых степеней элемента , т.е.

Следствие. Циклическая подгруппа абелева.

Порядок элемента. Пусть – элемент группы . Если все степени элемента различны, т.е. для всех целых , то говорят, что элемента имеет бесконечный порядок .

Нормализатор . Если – непустое подмножество группы и то и Элемент называется перестановочным с подмножеством , если . Равенство означает, что для любого элемента существует такой элемент , что . Если элемент перестановочен с подмножеством , то и . Совокупность всех элементов группы , перестановочных с подмножеством , называется нормализатором подмножества в группе и обозначается через . Итак,

Лемма. Пусть – непустое подмножество группы , – произвольный элемент группы . Тогда:

1) ;

2) ;

3) ;