Математика / Курсовая работа: Представления конечных групп

Курсовая работа: Представления конечных групп

5) если – подгруппа группы , то

Подгруппа называется нормальной подгруппой группы , если для всех . Запись читается: » – нормальная подгруппа группы «. Равенство означает, что для любого элемента существует элемент такой, что .

Теорема. Для подгруппы группы следующие утверждения эквивалентны:

1) – нормальная подгруппа;

2) подгруппа вместе с каждым своим элементом содержит все ему сопряженные элементы, т.е. для всех ;

3) подгруппа совпадает с каждой своей сопряженной подгруппой, т.е. для всех .

Лемма. Пусть – подгруппа группы . Тогда:

1) ;

2) если и , то ;

3) – наибольшая подгруппа группы , в которой нормальна;

4) если , то . Обратно, если , то ;

5) для любого непустого подмножества группы .

Простая группа . В каждой группе тривиальные подгруппы (единичная подгруппа и сама группа ) являются нормальными подгруппами. Если в неединичной группе нет других нормальных подгрупп, то группа называется простой . Единичную группу считают непростой.

Представления конечных групп

1.1 Представления групп

Пусть – группа всех невырожденных матриц порядка над полем комплексных чисел. Если – произвольная группа, то ее (матричным) представлением называется любой ее гомоморфизм в

такой, что

(единичная матрица),

. Число n называется степенью этого представления. Если гомоморфизм A иньективен, то представление называется точным .

Пример 1.1 Отображение, переводящее каждый элемент группы в , является представлением степени . Оно называется тождественным представлением группы и обозначается через .

Пример 1.2 Если – некоторое представление группы , то для каждой невырожденной матрицы отображение также является представлением этой группы.

Пусть и – два представления группы . Если существует невырожденная матрица , такая, что что

то представления и называются эквивалентными . Тот факт, что представления и эквивалентны, мы будем обозначать так: . Отношение определяет классы эквивалентных представлений группы .