Тогда либо

,

либо

и невырожденная.

Доказательство. Допустим, что . Покажем, что тогда имеет место . Предположим, что либо , либо и вырожденна. Тогда существуют матрицы и , такие, что

где . Так как , то

где

Таким образом, , если , и , если . В любом случае или приводимо, что противоречит условию.

Теорема 3.2. Пусть – неприводимое представление группы . Пусть – такая матрица, что для всех . Тогда , где .

Доказательство. Пусть – некоторое собственное значение матрицы . Тогда , а, кроме того,

откуда в силу леммы Шура следует, что

Теорема 3.3. Пусть – абелева группа. Тогда каждое ее неприводимое представление имеет степень 1.

Доказательство. Пусть – неприводимое представление группы . Поскольку коммутирует с каждой матрицей , из предыдущей теоремы следует, что , где . Поскольку неприводимо, отсюда вытекает, что его степень равна 1.

1.4 Соотношения ортогональности для характеров

Ниже везде предполагается, что рассматриваемые группы конечны.

Характеры. Для квадратной матрицы порядка обозначим через ее след , т.е.

Путем прямых вычислений доказывается следующая

Лемма 4.1.

для произвольной квадратной матрицы .

Для представления группы положим Тогда – функция, принимающая значения в множестве и называемая характером представления . Очевидно, что равно степени представления . Характеры неприводимых представлений называются неприводимыми характерами . Из леммы 4.1 (2) вытекает следующая

Лемма 4.2. Эквивалентные представления имеют один и тот же характер .

Поскольку , имеет место равенство . Таким образом, принимает одно и то же значение на всем классе сопряженных элементов группы . Такие функции называются функциями классов .

Первое соотношение ортогональности для характеров. Пусть – группа порядка , а и – ее неприводимые представления степеней и соответственно. Для произвольной – матрицы пусть