Курсовая работа: Приближённые методы решения алгебраического уравнения
xn +1 =j(xn ), n=0, 1, 2, … (2.3)
Последовательность {xn } называется итерационной последовательностью. При её изучении встают два вопроса:
Можно ли процесс вычисления чисел xn продолжать неограниченно, т. е. будут ли числа xn принадлежать отрезку [a, b] ?
Если итерационный процесс (2.3) бесконечен, то как ведут себя числа xn при n®¥
Исследование этих вопросов показывает, что при определённых ограничениях на функцию j(x) итерационная последовательность является бесконечной и сходится к корню уравнения (1.3).
, c=j(c) (3.3)
Однако для того, чтобы провести это исследование нам нужно ввести новое понятие.
Говорят, что функция f(x) удовлетворяет на отрезке [a, b] условию Липшица, если существует такая постоянная a, что для любых x1 , x2 , принадлежащих отрезку [a, b] имеет место неравенство:
| f(x1 ) - f(x2 )| £ a|x1 - x2 | (4.3)
Величину a в этом случае называют постоянной Липшица.
Если функция f(x), удовлетворяет на отрезке [a, b] условию Липшица, то она непрерывна на нём. Действительно, пусть x0 – произвольная точка отрезка. Рассмотрим приращение функции f(x) в этой точке:
Df=f(x0 +Dx) – f(x0 )
и оценим его с помощью неравенства (4.3)
|Df | £ a|Dx|
Таким образом, 
, что означает непрерывность функции f(x).
Условие Липшица имеет простой геометрический смысл. Возьмём не графике функции y=f(x) две произвольные точки M1 и M2 с координатами (x1 , f(x1 )) и (x2 , f(x2 )). Напишем уравнение прямой линии, проходящей через эти точки:
y=f(x1 ) + k(x-x1 )
где k– тангенс угла наклона прямой у оси Оx и определяется формулой:
Если функция f(x) удовлетворяет на отрезке [a, b] условию Липшица, то при произвольном выборе точек M1 и M2 имеем |k|£a. Таким образом, с геометрической точки зрения условие Липшица означает ограниченность тангенса угла наклона секущих, проведённых через всевозможные пары точек графика функции y=f(x).
 |
рис 2.3 геометрическая иллюстрация условия Липшица.
рис 3.3 геометрическая иллюстрация cвязи условия Липшица с предположением о дифференцируемости функции.
Предположим, что функция f(x) имеет на отрезке [a, b] ограниченную производную:
| f ¢(x)| £ m; тогда она удовлетворяет условию Липшица с постоянной a=m. Для доказательс- тва этого утверждения воспользуемся формулой конечных приращений Лагранжа:
f(x2 ) – f(x1 ) = f ¢(x)(x2 -x1 ) (5.3)
где x1 , x2 , - произвольные точки отрезка [a, b] x, - некоторая точка отрезка [x1 , x2 ]. Возьмём модуль обеих частей равенства (4.3) и заменим в правой части | f ‘(x)| на m. В результате по- лучим неравенство (4.3) с a=m. Рис.2.3 даёт геометрическую иллюстрацию установленного свойства. Согласно формуле Лагранжа (5.3) каждой секущей графика функции y = f(x) мож- но поставить в соответствие параллельную её касательную. Поэтому наибольший тангенс угла наклона касательных, и его можно оценить той же константой m: |k| £ m.