Курсовая работа: Приближённые методы решения алгебраического уравнения

Если итерационная последовательность, полученная методом хорд, сходится, то скорость сходимости будет такой же, как и у метода итераций, - погрешность значения корня убывает, как геометрическая прогрессия. Существует усовершенствование способа хорд, дающее гораздо более быструю сходимость. В обычном методе хорд мы на каждом шагу используем один из концов отрезка [a, b] последнее получившееся приближение. Вместо этого можно использовать два последних приближения – ведь они ближе к искомому корню, чем концы отрезка [a, b].

рис.1.9 а) б)

Формула, при которой мы используем два последних приближения, имеет вид:

(1.9)

При этом а₁ вычисляется по формуле:

а а₂ в зависимости от знаков f(a), f(b), f(a₁ ), если f(a)<0, f(b)>0,

, f(a₁ )<0

, f(a₁ )>0

Если случайно окажется, что точка а₃ , вычисленная по формуле (1.9), лежит за пределами отрезка [a, b], то на следующем шаге надо вместо этой точки взять ближайший к ней конец этого отрезка (рис. 1.9, б). Оказывается, что сходимость усовершенствованного метода хорд гораздо быстрее, чем у обычного. Именно, если x - корень уравнения f(x)=0, то:

|a_{n + 1} |<C×|a_n -x| ^S , где

10. Комбинированный метод решения уравнений

При решении уравнений часто комбинируют методы хорд и Ньютона. Если график функции y=f(x) обращён вогнутостью вверх, то находят точки а₁ и х₁ по формулам:

(1.10)

(2.10)

Если же график функции y=f(x) обращён вогнутостью вниз, то точку а₁ находят по формуле (1.10), а точку х₁ – по формуле:

(3.10)

Как видно из рис.1.10 а) и б), корень x уравнения f(x)=0 лежит обычно между полученными точками а₁ и х₁ . Применяя снова к этим точкам формулы метода хорд и метода Ньютона, получают новую пару точек а₂ и х₂ и т. д.

Таким путём получают две последовательности точек а₁ , а₂ , а₃ , …, a_n , … и x₁ , x₂ , x₃ , … , x_n , …, приближаются с разных сторон к искомому корню x. Преимущество описанного метода состоит в том, что при нём получаются приближённые значения как с избытком так и с достатком.

рис.1.10

а) б)

11. Заключительные замечания

Ситуация, когда одну и ту же задачу можно решить многими способами, является довольно типичной. В таких случаях естественно возникает необходимость сравнения их между собой.

При оценке эффективности численных методов существенное значение имеют различные свойства:

универсальность;

простота организации вычислительного процесса и контроля над точностью;

скорость сходимости.

Наиболее универсальным является метод деления пополам (дихотомии): он только требует непрерывности функции. Остальные методы накладывают более сильные ограничения. Во многих случаях это преимущество метода вилки может оказаться существенным.