Курсовая работа: Приближённые методы решения алгебраического уравнения

Построение последовательности {x_n }по методу касательных

При исследовании этой последовательности, как и последовательности метода итераций, встают два вопроса:

Можно ли процесс вычисления чисел x_n продолжать неограниченно, т. е. будут ли числа x_n принадлежать отрезку [a, b] ?

Если процесс (3.5) бесконечен, то как ведёт себя последовательность {x_n } при n®¥ ?

При анализе этих вопросов предположим, что корень x=c является внутренней точкой отрезка [a, b] (a<c<b), а функция f(x) дважды дифференцируема на данном отрезке, причём её производные удовлетворяют неравенствам:

| f ¢(x)|³m>0, | f ¢¢(x)|£M, xÎ[a, b], (4.5)

и докажем следующую теорему.

Теорема о сходимости метода касательных.

Если функция f(x) удовлетворяет условиям, сформулированным п.1., то найдётся такое d: 0<d£min(c–a, b–c), что при любом выборе начального приближения на отрезке [c-d, c+d] Ì [a, b] существует бесконечная итерационная последовательность (3.5) и эта последовательность сходится к корню c.

Доказательство. В силу предположения о дифференцируемости функции f(x) и не равенстве нулю её производной f ¢(x) уравнение f(x)=0 эквивалентно на отрезке [a, b] уравне- нию:

x=j(x), j(x)=x– f (x)/ f ¢(x) (5.5)

так что корень x=c исходного уравнения является одновременно корнем уравнения (5.4).

Исследуем возможность отыскания этого корня с помощью итераций.

Вычислим производную функции j(x):

(6.5)

и оценим полученное выражение. Согласно неравенствам (4.5):

(7.5)

Для дальнейшей оценки || воспользуемся непрерывностью функции f(x) и равенством её нулю в точке x= с:

(8.5)

Положим e=m² /(2M)

Тогда в силу (8.5) для данного e можно указать такое d: 0<d£ min (c–a, b–c), что для всех выполняется неравенство:

(9.5)

Учитывая это, получим:

(10.5)

Таким образом, функция j(x) удовлетворяет на отрезке [c-d, c+d] Ì [a, b] условию Липшица с постоянной a=0.5<1. Это означает, что уравнение (5.5) можно решать методом итераций: при любом выборе нулевого приближения x₀ на отрезке [c-d, c+d] существует бесконечная последовательность {x_n }, x_{n +1} =j(x_n ), n=0, 1, 2, …, сходящаяся к корню x=c.

Теперь нам остаётся заметить, что итерационной последовательностью для уравнения (5.5), сходимость которой мы только что установили, является последовательность (3.5) метода касательных. Теорема доказана.

Требование близости нулевого приближения x₀ к искомому корню c является существенным для метода касательных. На рис.2.5 изображён график, где х₀ выбрано неправильно, то есть расстояние сх₀ >ас, так как ас<bс. В результате чего х₁ не принадлежит отрезку [a, b], и на этом процесс построения рекуррентной последовательности метода касательных обрывается.

Таким образом, до начала расчётов по данному методу для выбора нулевого приближения х₀ нужно знать область локализации искомого корня х=с. Если известен в общих чертах график функции f(x), то его легко определить по этому графику. В случае необходимости можно сделать несколько шагов по методу вилки. Затруднения, связанные с предварительным исследованием уравнения, вполне окупаются высокой скоростью сходимости метода.