Курсовая работа: Приближённые методы решения алгебраического уравнения

|a_{n+ 1} |<qⁿ ·|a₁ | (2.4)

В самом деле, из равенства (1.4) имеем:

|a₂ |=|j ¢(c₁ )|·|a₁ |

Но точка c₁ лежит на отрезке [a, b] (рис.1.4), и потому:

|j ¢(c₁ )|<q

Отсюда следует, что:

|a₂ |<q·|a₁ |

Точно так же получаем, что:

|a₃ |=|j ¢(c₁ )|·|a₂ |<q·|a₂ |< q² ·|a₁ |

и вообще:

|a_{n+ 1} |=qⁿ ·|a₁ |

Тем самым наше утверждение доказано.

Так само при 0<q<1 последовательность чисел q, q₂ , q₃ , … , q_n , … стремится к нулю, то и погрешность a_{n+ 1} стремится к нулю с возрастанием n. Иными словами, при указанных выше предположениях числа x₁ , x₂ , … , x_n , … приближаются к числу x, причём разность |x-x_n | убывает быстрее, чем qⁿ ·|a₁ |.

Точно так же можно доказать, что если на отрезке [a, b] выполнено неравенство:

|j ¢(x)|>1,

то процесс итераций расходится.

Особенно быстро сходится процесс последовательных приближений, если в точке x производная функции j(x) обращается в нуль. В этом случае по мере приближения к x, значение j ¢(x) стремится к нулю. Так как:

|a_{n+ 1} |=|j ¢(c_n )|·|a_n |

то сходимость процесса ускоряется по мере приближения к точке x.

Однако то же самое можно наблюдать в методе Ньютона, при замене f(x)=0 на имеем: и её производная: в точке x: f(x)=0 - в методе Ньютона наблюдается ускорение сходимости процесса приближений.

5. Метод касательных (метод Ньютона)

Метод касательных, связанный с именем И. Ньютона, является одним из наиболее эффективных численных методов решения уравнений. Идея метода очень проста. Возьмём производную точку x₀ и запишем в ней уравнение касательной к графику функции f(x):

y=f(x₀ )+ f ¢(x) (x-x₀ ) (1.5)

Графики функции f(x) и её касательной близки около точки касания, поэтому естественно ожидать, что точка x₁ пересечения касательной с осью Ox будет расположена недалеко от корня c (рис. 1.5)

Для определения точки имеем уравнение:

f(x₀ )+ f ¢(x₀ ) (x₁ -x₀ )=0

таким образом: x₁ =x₀ – f (x₀ )/ f ¢(x₀ ) (2.5)

Повторим проделанную процедуру: напишем уравнение касательной к графику функции f(x) при x=x₁ и найдём для неё точку пересечения x₂ с осью Ox (см. рис.1.5) x₂ =x₁ – f (x₁ )/ f ¢(x₁ ). Продолжая этот процесс, получим последовательность {x_n }, определён- ную с помощью рекуррентной формулы:

x_{n + 1} =x_n – f (x_n )/ f ¢(x_n ), n=0, 1, 2, … (3.5)