Курсовая работа: Решение линейных интегральных уравнений

где G_rv -единичный rv-мерный куб. пусть величина R_n определена равенством

.

Тогда пользуясь определением функции F(P,Q₁ ,…,Q_n ) получим

(5)

Обозначим через С(m₁ ,…,m_r ) коэффициенты Фурье функции f(P). Так как, по условию, f(P) , то

Аналогичная оценка справедлива, очевидно, и для ядра K(P,Q) уравнения (2) .

Но тогда

и, следовательно,

получим

,

.

Отсюда в силу (5) следует первое из утверждений леммы:

.

Перейдем теперь к доказательству второго утверждения. Так как f(P) и K(P,Q),то, аналогично рассуждениям леммы 12 (1, с.61) легко показать, что

(6)

Где,

В отличие от остальных сомножителей, первый сомножитель в соотношении (6) рассматривается как функция r переменных, соответствующих величине Q₁ , а не как функция всех своих переменных.

Далее, рассматривая каждую из функций (v=1,2,…,n)

Как функцию всех rn переменных, соответствующих n величинам Q₁ ,…,Q_n , согласно первому утверждению леммы 12 (1, с.61) получим, что функция принадлежит классу , где

.

Но в силу (6)

и, следовательно,