Курсовая работа: Решение линейных интегральных уравнений

Следствие . Если Ф, то, каково бы ни было для погрешности квадратурной формулы

построенной при N=p с помощью оптимальных коэффициентов, указанных в лемме 2, справедлива оценка

,

Действительно, пользуясь леммами 19 (1, с.106) и 2, получим утверждение следствия

Пусть α>0, , p - простое, N=p, a₁ ,…a_s – оптимальные коэффициенты по модулю p, удовлетворяющие условию леммы 2, и величины γ₀ , n определены равенствами

(22)

Теорема 2 Если, то при произвольно малом для решения уравнения

(23)

выполняется равенство

где

(24)

Доказательство.

Выберем в лемме 1 , где γ₀ определено первым из равенств (22). Тогда для решения уравнения (23) получим

(25)

где функция F(P,Q₁ ,…,Q_n ) определена равенством

И принадлежит классу

Пусть при k=1,2,…,N и v=1,2,…,n точки M_{k , v} определены равенством (24). Тогда согласно квадратурной формуле, указанной в следствии леммы 2, при s=rn и справедливо равенство

(26)

(27)

Пользуясь равенствами (22), получим

Но тогда