Математика / Курсовая работа: Решение параболических уравнений

Курсовая работа: Решение параболических уравнений

Подставляя это выражение в предыдущее уравнение вместо выражения в квадратных скобках и проводя сокращения на получим:

откуда находим :

Таким образом, согласно уравнению (1.26), получаем линейно-независимые решения уравнения (1.23) в виде

Заметим, что это частное решение удовлетворяет однородным краевым условиям (1.24). Линейная комбинация этих частных решений также является решением уравнения (1.23):

, (1.27)

причем , определенное в выражении (1.27), удовлетворяет для любых однородным граничным условиям (1.24). Коэффициенты подбираются исходя из того, что должны удовлетворять начальным условиям (1.25):

В результате получаем систему уравнений

содержащую уравнений с неизвестными . Решая построенную систему определяем неизвестные коэффициенты .

Для устойчивости исследуемой разностной схемы необходимо, чтобы при любых значениях коэффициентов , определяемое формулой (1.27), оставалось ограниченной величиной при . Для этого достаточно, чтобы для всех выполнялось неравенство

. (1.28)

Анализируя (1.28) видим, что это неравенство выполняется для любых значений параметра . При этом при или в крайнем случае, когда

остается ограниченным и при фиксированном не возрастает по модулю. Следовательно мы доказали, что рассматриваемая разностная схема устойчива для любых значений параметра .