Курсовая работа: Розвязок інтеграла метоном Нютона Котеса та Сімсона

Цей метод близький до методу трапецій у тій частині, що інтегрування проводиться шляхом поділу відрізка інтегрування[а,в] на множину відрізкіав(N пар відрізків). Однак, з метою збільшення точності наближеного інтегрування на кожному відрізку підінтегральної функції f(x) замінюють квадратичною параболою j(х) (рис 1.5, рис.1.6), обчислення визначеного інтеграла зводиться до обчислення суми N криволінійних трапецій

Площа кожної такої такої трапеції (див. рис.1.5.) визначається за формулою Сімпсона:

Тобто

Рисунок 1.5Рисунок 1.6

Тоді чичельне значення визначеного інтеграла на відрізку [а,в] дорівнюватиме сумі інтегралів, тобто

або

де

1.3.4 Метод Ньютона-Котеса

Цей метод засновано на апроксимації однієї із сторін криволінійної трапеції(дивюрис.1.5), яка отримується поділом відрізка [а,в] на N рівних частин, многочленами вищих порядків, також як у методі трапецій використовуєься лінійна апроксимація (заміна однієї із сторін трапеції прямою лінією), а в методі Сімпсона – апроксимація параболою.

Основна формула методу

Де Hi – коефіцієнти Ньютона-Котеса. Ці коефіцієнти не залежать від вигляду f(x) , а є функцією тільки N (кількість вузлів інтерполяції). Таким чином, коефіцієнти Ньютона-Котеса можна обчислити раніше для різного числа вузлів та звести в таблицю1.1.

Легко можна показати , що методи трапецій та Сімпсона є частинними випадками методу Ньютона-Котеса[1].

Коефіцієнти Ньютона-Котеса Таб.1.1

N=1	Ho=H1=1/2
N=2	Ho=H2=1/6, H1=2/3
N=3	Ho=H3=1/8, H1=H2=3/8
N=4	Ho=H4=7/90, H1=H3=16/45, H2=2/15
N=5	Ho=H5=19/288, H1=H4=25/96, H2=H3=25/144
N=6	Ho=H6=41/840, h1=H5=9/35, H2=H4=9/280, H3=34/105
N=7	Ho=H7=751/17280,H1=H6=3577/17280, H2=H5=1323/17280, H3=H4=2989/17280

1.3.5 Метод Чебишева

Метод Чебишева грунтується на обчисленні інтеграла за значеннями функції Yi=f(Xi),(i=1,2,…,N) у зафіксованих вузлах інтерполяції Х1, Х2, …, Хn (де h=const). Коефіцієнти Ньютона-Котеса Hi (i=1,N) не залежать від значень функції у вузлах інтерполяції. П.Л. Чебишев запропонував для обчислення визначених інтегралів використати формулу

в якій квадратурні коефіцієнти Сі (і=1,2,…,N) зафіксовані, а абсциси Хі (і=1,2,…,N) підлягають визначенню.

Для простоти обчислень необхідно вибрати С1=С2=…=Сn. Розглянемо спочатку частинний випадок, коли межі інтегрування дорівнюють –1 та 1. Тоді формула 1.10 набере вигляду

Де квадратурні коефіцієнти Сn та абсциси Хі підлягають визначенню[2].

Коефіцієнти та вузли інтерполяції Хі визначимо із умови, що ця рівність є точною для випадку, коли f(х) многочлен вигляду

Підставимо многочлен1.12 у ліву частину 1.11 та проінтегруємо

У праву частину рівності 1.11 підставимо значення многочлена 1.12 у вузлах Х1, Х2, …,Хn:

Тоді рівність1.13 набере вигляду