Курсовая работа: Теорема Дирихле
L(Sc ) = Cк (S – 1)к + Ск +1 (S – 1)к +1 = (S – 1)1 (Cк + Ск +1 (S -1)+….), гдек≥1, Ск ≤ 0, т. к. S>1
| L (S, c)| = |S – 1|k | Ck + Ck+1 (S – 1) +….| ≤ 2 Ck |S – 1)k , при |S – | < r
Функция L (S, c2 ) в точке S = 1 не имеет полюса, следовательно не имеет особенности. Это в силу того, что c комплексное и c2 ≠c1
Получаем неравенство:
L(S, c2 ) ≤ C,
При условии | S – 1|< δ
Учитывая все неравенства и оценки
| L3 (S, c) L4 (S, c) L (S, c2 )| = (
)3 · 24 |Ck |4 (S – 1)4k · C≥1
Следовательно, это неравенство становится противоречивым, если перейти к пределу при S→1+0. Полученное противоречие показывает, что равенство (2.14) не выполняется.
2. Рассмотрим c – вещественный характер, т.е. принимающий только вещественные значения, несовпадающий с главным характером
Лемма 8. Пусть c – вещественный характер.
Рассмотрим функцию
F(S) = ξ(S) L(S, x) (2.15)
Докажем, что если ReS>1, то
(2.16)
представляется рядом Дирихле, которого справедливы следующие утверждения:
1) Все коэффициенты а n ≥ 0
2) при n=k2 , k € / N(N)/ а n ≥1
3) В области ReS<1 можно почленно дифференцировать, то есть
F( k ) (S)= 
(-1)k (lnn)k 
k=1,2…; (2.17)
4) Ряд (1) в точке S=1/2 расходится.
Доказательство. В области ReS > 1 ряды, определяющие функции S(S) и L(S,c), абсолютно сходятся, поэтому их можно перемножить:
где
(2.19)
Пусть 
- расположение числа n в произведение простых сомножителей. Тогда все натуральные делители l числа n имеют вид
поэтому из равенства (14) находим, что
гдеani = 1+ c (pi )+ … +cLi (pi ), i=1,…, m (2.21)