Курсовая работа: Теорема Дирихле

абсолютно сходится, и его сумма как сумма бесконечно убивающей геометрической прогрессии равна (1-f(р))^-1. Кроме этого, в силу абсолютной сходимости, ряды можно перемножить. Перемножая конечное число таких рядов и используя то, что f(n) есть вполне мультипликативная функция, получим

где n_e = p^a … p^a s и в сумме в правой части равенства содержатся такие и только такие слагаемые f(n_e ), что все просты делители n_e не превосходят х. Следовательно, в разности

остаются те и только те слагаемые f(m_e ), для которых у числа m_e имеется хотя бы один простой делитель р>x. Тогда оценим разность

/S-S(x)/£

и из абсолютной сходимости ряда (2.8) следует, что

Это доказывает, что бесконечное произведение (2.7) сходится и выполняется утверждение Леммы.

Лемма 6. Для каждого характера c(n) в области ReS > 1 справедливо представление

Доказательство. Эта лемма является следствием Леммы 5, поскольку функция c(n) вполне мультипликативна, то есть c(АВ)= c(А) c(В), и выполняется неравенство /c(n)/£ 1 по теореме 1.

Следствие 1. В области ReS > 1 для главного характера c₁ (n) по модулю m справедливо равенство

(2.10)

и поэтому функция L (S, c₁ ) может быть аналитически продолжена в область ReS> 0, где она имеет единственный полюс (первого порядка) в точке S=1.

Действительно, по определению главного характера c₁ (n) имеет место равенство

Поэтому

Пользуясь теперь тождеством Эйлера для дзета-функции Римана получаем равенство (2.10). Остальные утверждения легко следуют из этого равенства, поскольку дзета-функция является аналитической в области ReS > 0 с единственным полюсом первого порядка в точке S = 1.

Следствие 2. Для каждого характера c функция L (S, x) не обращается в нуль в области ReS > 1.

Доказательство.

Если s = ReS > 1. то

Пользуясь неравенством для дзета-функции Римана, находим

Получаем:

L(S,c) ≥ > 0